HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  superpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem superpos 28385
Description: Superposition Principle. If 𝐴 and 𝐵 are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from 𝐴 and 𝐵, that is the superposition of 𝐴 and 𝐵. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
superpos ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem superpos
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atom1d 28384 . . 3 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})))
2 atom1d 28384 . . 3 (𝐵 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧})))
3 reeanv 2990 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))))
4 an4 860 . . . . . 6 (((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ ((𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))))
5 neeq1 2748 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (span‘{𝑦}) → (𝐴𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ 𝐵))
6 neeq2 2749 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{𝑦}) ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
75, 6sylan9bb 731 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
87adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
9 hvaddcl 27041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ)
109adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ)
11 hvaddeq0 27098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) = 0𝑦 = (-1 · 𝑧)))
12 sneq 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (-1 · 𝑧) → {𝑦} = {(-1 · 𝑧)})
1312fveq2d 5991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{(-1 · 𝑧)}))
14 neg1cn 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ ℂ
15 neg1ne0 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ≠ 0
16 spansncol 27599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (span‘{(-1 · 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
1714, 15, 16mp3an23 1407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℋ → (span‘{(-1 · 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
1813, 17sylan9eqr 2570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 = (-1 · 𝑧)) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
1918ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
2019adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
2111, 20sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) = 0 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
2221necon3d 2707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (𝑦 + 𝑧) ≠ 0))
2322imp 443 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 + 𝑧) ≠ 0)
24 spansna 28381 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2510, 23, 24syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2625adantlr 746 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2726adantlr 746 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
28 eqeq2 2525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
2928biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
30 spansneleqi 27600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
319, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
32 elspansn 27597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
3332adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
34 addcl 9773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
3514, 34mpan2 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣 ∈ ℂ → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
3635ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
37 hvmulcl 27042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ)
3837ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ)
3938adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ)
40 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℋ)
41 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℋ)
42 hvsubadd 27106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
4339, 40, 41, 42syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
4443biimpar 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = 𝑧)
45 hvsubval 27045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
4637, 45sylancom 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
47 ax-hvdistr2 27038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
4814, 47mp3an2 1403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
4946, 48eqtr4d 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5049ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5150adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5251adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5344, 52eqtr3d 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → 𝑧 = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
54 oveq1 6433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 · 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5554eqeq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑧 = (𝑤 · 𝑦) ↔ 𝑧 = ((𝑣 + -1) · 𝑦)))
5655rspcev 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑧 = ((𝑣 + -1) · 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦))
5736, 53, 56syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦))
5857exp31 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 ∈ ℂ → ((𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦))))
5958rexlimdv 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
6033, 59sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
6131, 60syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
62 elspansn 27597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
6362adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
6461, 63sylibrd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
6564adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
66 spansneleq 27601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦})))
67 eqcom 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦}) ↔ (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
6866, 67syl6ib 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
6968adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
7065, 69syld 45 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
7129, 70sylan9r 687 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
7271necon3d 2707 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
7372adantlrl 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
7473adantrr 748 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
7574imp 443 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴)
76 eqeq2 2525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
7776biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
78 spansneleqi 27600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
799, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
80 elspansn 27597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)))
8180adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)))
8235ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
83 hvmulcl 27042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ)
8483ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ)
8584adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ)
86 hvsubadd 27106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑦) = (𝑣 · 𝑧)))
8785, 41, 40, 86syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑦) = (𝑣 · 𝑧)))
88 ax-hvcom 27030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
8988adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
9089eqeq1d 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧) ↔ (𝑧 + 𝑦) = (𝑣 · 𝑧)))
9187, 90bitr4d 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)))
9291biimpar 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦)
93 hvsubval 27045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
9483, 93sylancom 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
95 ax-hvdistr2 27038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
9614, 95mp3an2 1403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
9794, 96eqtr4d 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
9897ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
9998adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
10099adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
10192, 100eqtr3d 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → 𝑦 = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
102 oveq1 6433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 · 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
103102eqeq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑦 = (𝑤 · 𝑧) ↔ 𝑦 = ((𝑣 + -1) · 𝑧)))
104103rspcev 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑦 = ((𝑣 + -1) · 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧))
10582, 101, 104syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧))
106105exp31 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 ∈ ℂ → ((𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧))))
107106rexlimdv 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
10881, 107sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
10979, 108syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
110 elspansn 27597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
111110adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
112109, 111sylibrd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
113112adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
114 spansneleq 27601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
115114adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
116113, 115syld 45 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
11777, 116sylan9r 687 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
118117necon3d 2707 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
119118adantlrr 752 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
120119adantrl 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
121120imp 443 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵)
122 spanpr 27611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
123122adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
124 oveq12 6435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})))
125 df-pr 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦, 𝑧} = ({𝑦} ∪ {𝑧})
126125fveq2i 5990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (span‘{𝑦, 𝑧}) = (span‘({𝑦} ∪ {𝑧}))
127 snssi 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℋ → {𝑦} ⊆ ℋ)
128 snssi 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℋ → {𝑧} ⊆ ℋ)
129 spanun 27576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑦} ⊆ ℋ ∧ {𝑧} ⊆ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})))
130127, 128, 129syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})))
131126, 130syl5eq 2560 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{𝑦, 𝑧}) = ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})))
132 spansnch 27591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ C )
133 spansnj 27678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((span‘{𝑦}) ∈ C𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})))
134132, 133sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})))
135131, 134eqtr2d 2549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
136124, 135sylan9eqr 2570 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 𝐵) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
137123, 136sseqtr4d 3509 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))
138137adantlr 746 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))
139138adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))
140 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → (𝑥𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
141 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → (𝑥𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
142 sseq1 3493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵)))
143140, 141, 1423anbi123d 1390 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → ((𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))))
144143rspcev 3186 . . . . . . . . . 10 (((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms ∧ ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
14527, 75, 121, 139, 144syl13anc 1319 . . . . . . . . 9 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
146145ex 448 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1478, 146sylbid 228 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
148147expl 645 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))))
1494, 148syl5bi 230 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))))
150149rexlimivv 2922 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1513, 150sylbir 223 . . 3 ((∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1521, 2, 151syl2anb 494 . 2 ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1531523impia 1252 1 ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684  wrex 2801  cun 3442  wss 3444  {csn 4028  {cpr 4030  cfv 5689  (class class class)co 6426  cc 9689  0cc0 9691  1c1 9692   + caddc 9694  -cneg 10018  chil 26948   + cva 26949   · csm 26950  0c0v 26953   cmv 26954   C cch 26958   + cph 26960  spancspn 26961   chj 26962  HAtomscat 26994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cc 9016  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771  ax-hilex 27028  ax-hfvadd 27029  ax-hvcom 27030  ax-hvass 27031  ax-hv0cl 27032  ax-hvaddid 27033  ax-hfvmul 27034  ax-hvmulid 27035  ax-hvmulass 27036  ax-hvdistr1 27037  ax-hvdistr2 27038  ax-hvmul0 27039  ax-hfi 27108  ax-his1 27111  ax-his2 27112  ax-his3 27113  ax-his4 27114  ax-hcompl 27231
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-supp 7058  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-2o 7324  df-oadd 7327  df-omul 7328  df-er 7505  df-map 7622  df-pm 7623  df-ixp 7671  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-fsupp 8035  df-fi 8076  df-sup 8107  df-inf 8108  df-oi 8174  df-card 8524  df-acn 8527  df-cda 8749  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-q 11531  df-rp 11575  df-xneg 11688  df-xadd 11689  df-xmul 11690  df-ioo 11919  df-ico 11921  df-icc 11922  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-fl 12323  df-seq 12532  df-exp 12591  df-hash 12848  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-clim 13933  df-rlim 13934  df-sum 14134  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-sca 15668  df-vsca 15669  df-ip 15670  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-hom 15677  df-cco 15678  df-rest 15790  df-topn 15791  df-0g 15809  df-gsum 15810  df-topgen 15811  df-pt 15812  df-prds 15815  df-xrs 15869  df-qtop 15875  df-imas 15876  df-xps 15879  df-mre 15961  df-mrc 15962  df-acs 15964  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-submnd 17051  df-mulg 17256  df-cntz 17465  df-cmn 17926  df-psmet 19463  df-xmet 19464  df-met 19465  df-bl 19466  df-mopn 19467  df-fbas 19468  df-fg 19469  df-cnfld 19472  df-top 20424  df-bases 20425  df-topon 20426  df-topsp 20427  df-cld 20536  df-ntr 20537  df-cls 20538  df-nei 20615  df-cn 20744  df-cnp 20745  df-lm 20746  df-haus 20832  df-tx 21078  df-hmeo 21271  df-fil 21363  df-fm 21455  df-flim 21456  df-flf 21457  df-xms 21837  df-ms 21838  df-tms 21839  df-cfil 22725  df-cau 22726  df-cmet 22727  df-grpo 26469  df-gid 26470  df-ginv 26471  df-gdiv 26472  df-ablo 26524  df-vc 26539  df-nv 26587  df-va 26590  df-ba 26591  df-sm 26592  df-0v 26593  df-vs 26594  df-nmcv 26595  df-ims 26596  df-dip 26713  df-ssp 26737  df-ph 26830  df-cbn 26881  df-hnorm 26997  df-hba 26998  df-hvsub 27000  df-hlim 27001  df-hcau 27002  df-sh 27236  df-ch 27250  df-oc 27281  df-ch0 27282  df-shs 27339  df-span 27340  df-chj 27341  df-pjh 27426  df-cv 28310  df-at 28369
This theorem is referenced by:  chirredi  28425
  Copyright terms: Public domain W3C validator