MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpscmatgsummon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpscmatgsummon 20590
Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed as finite group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m = (.g𝐺)
chpscmat.d 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))}
chpscmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpscmat.m = (-g𝑃)
chpscmatgsum.f 𝐹 = (.g𝑃)
chpscmatgsum.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
chpscmatgsum.e 𝐸 = (.g𝐻)
chpscmatgsum.i 𝐼 = (invg𝑅)
chpscmatgsum.s · = ( ·𝑠𝑃)
chpscmatgsum.z 𝑍 = (.g𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpscmatgsummon (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ ((((#‘𝑁)C𝑙)𝑍(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,𝑚   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚,𝑛   𝑁,𝑐,𝑚,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,𝑚,𝑛   𝑆,𝑛   𝐷,𝑙   𝐹,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙,𝑛   𝑀,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙   𝑅,𝑙   𝑆,𝑙   𝑋,𝑙   ,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑙)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝑃(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   · (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐,𝑙)   (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝐽(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)

Proof of Theorem chpscmatgsummon
StepHypRef Expression
1 chp0mat.c . . 3 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2 chp0mat.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 chp0mat.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 chp0mat.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
5 chp0mat.g . . 3 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
6 chp0mat.m . . 3 = (.g𝐺)
7 chpscmat.d . . 3 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))}
8 chpscmat.s . . 3 𝑆 = (algSc‘𝑃)
9 chpscmat.m . . 3 = (-g𝑃)
10 chpscmatgsum.f . . 3 𝐹 = (.g𝑃)
11 chpscmatgsum.h . . 3 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
12 chpscmatgsum.e . . 3 𝐸 = (.g𝐻)
13 chpscmatgsum.i . . 3 𝐼 = (invg𝑅)
14 chpscmatgsum.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑃)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14chpscmatgsumbin 20589 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))))))
16 crngring 18498 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1716adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
182ply1lmod 19562 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ LMod)
2019ad2antrr 761 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → 𝑃 ∈ LMod)
2111ringmgp 18493 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
2217, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐻 ∈ Mnd)
2322ad2antrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → 𝐻 ∈ Mnd)
24 fznn0sub 12331 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) → ((#‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0)
2524adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → ((#‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0)
26 ringgrp 18492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2716, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Grp)
2827adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Grp)
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ Grp)
30 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) → 𝐽𝑁)
31 elrabi 3347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
3231, 7eleq2s 2716 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀𝐷𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
33323ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
3430, 30, 333jca 1240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) → (𝐽𝑁𝐽𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
3534adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐽𝑁𝐽𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
36 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
373, 36matecl 20171 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽𝑁𝐽𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
3835, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
3936, 13grpinvcl 17407 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
4029, 38, 39syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
4140adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
4211, 36mgpbas 18435 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
4342, 12mulgnn0cl 17498 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ ((#‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘𝑅))
4423, 25, 41, 43syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘𝑅))
452ply1sca 19563 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4645adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4746eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
4847fveq2d 6162 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
4948ad2antrr 761 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
5044, 49eleqtrrd 2701 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
51 hashcl 13103 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Fin → (#‘𝑁) ∈ ℕ0)
5251ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (#‘𝑁) ∈ ℕ0)
53 elfzelz 12300 . . . . . . 7 (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) → 𝑙 ∈ ℤ)
54 bccl 13065 . . . . . . 7 (((#‘𝑁) ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℤ) → ((#‘𝑁)C𝑙) ∈ ℕ0)
5552, 53, 54syl2an 494 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → ((#‘𝑁)C𝑙) ∈ ℕ0)
562ply1ring 19558 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
575ringmgp 18493 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
5816, 56, 573syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
5958adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
6059ad2antrr 761 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → 𝐺 ∈ Mnd)
61 elfznn0 12390 . . . . . . . 8 (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
6261adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
63 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
644, 2, 63vr1cl 19527 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6517, 64syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6665ad2antrr 761 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
675, 63mgpbas 18435 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
6867, 6mulgnn0cl 17498 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑙 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑙 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
6960, 62, 66, 68syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (𝑙 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
70 eqid 2621 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
71 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
72 eqid 2621 . . . . . . 7 (.g‘(Scalar‘𝑃)) = (.g‘(Scalar‘𝑃))
7363, 70, 14, 71, 10, 72lmodvsmmulgdi 18838 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ LMod ∧ ((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ ((#‘𝑁)C𝑙) ∈ ℕ0 ∧ (𝑙 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))) → (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))) = ((((#‘𝑁)C𝑙)(.g‘(Scalar‘𝑃))(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 𝑋)))
7420, 50, 55, 69, 73syl13anc 1325 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))) = ((((#‘𝑁)C𝑙)(.g‘(Scalar‘𝑃))(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 𝑋)))
75 chpscmatgsum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (.g𝑅)
7646fveq2d 6162 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (.g𝑅) = (.g‘(Scalar‘𝑃)))
7775, 76syl5req 2668 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (.g‘(Scalar‘𝑃)) = 𝑍)
7877ad2antrr 761 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (.g‘(Scalar‘𝑃)) = 𝑍)
7978oveqd 6632 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (((#‘𝑁)C𝑙)(.g‘(Scalar‘𝑃))(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) = (((#‘𝑁)C𝑙)𝑍(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))))
8079oveq1d 6630 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → ((((#‘𝑁)C𝑙)(.g‘(Scalar‘𝑃))(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 𝑋)) = ((((#‘𝑁)C𝑙)𝑍(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 𝑋)))
8174, 80eqtrd 2655 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))) = ((((#‘𝑁)C𝑙)𝑍(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 𝑋)))
8281mpteq2dva 4714 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋)))) = (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ ((((#‘𝑁)C𝑙)𝑍(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 𝑋))))
8382oveq2d 6631 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ ((((#‘𝑁)C𝑙)𝑍(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 𝑋)))))
8415, 83eqtrd 2655 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ ((((#‘𝑁)C𝑙)𝑍(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))) · (𝑙 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  {crab 2912  ifcif 4064  cmpt 4683  cfv 5857  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  0cc0 9896  cmin 10226  0cn0 11252  cz 11337  ...cfz 12284  Ccbc 13045  #chash 13073  Basecbs 15800  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  0gc0g 16040   Σg cgsu 16041  Mndcmnd 17234  Grpcgrp 17362  invgcminusg 17363  -gcsg 17364  .gcmg 17480  mulGrpcmgp 18429  Ringcrg 18487  CRingccrg 18488  LModclmod 18803  algSccascl 19251  var1cv1 19486  Poly1cpl1 19487   Mat cmat 20153   CharPlyMat cchpmat 20571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-ot 4164  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-ofr 6863  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-word 13254  df-lsw 13255  df-concat 13256  df-s1 13257  df-substr 13258  df-splice 13259  df-reverse 13260  df-s2 13546  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-prds 16048  df-pws 16050  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-gim 17641  df-cntz 17690  df-oppg 17716  df-symg 17738  df-pmtr 17802  df-psgn 17851  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-srg 18446  df-ring 18489  df-cring 18490  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-rnghom 18655  df-drng 18689  df-subrg 18718  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-assa 19252  df-ascl 19254  df-psr 19296  df-mvr 19297  df-mpl 19298  df-opsr 19300  df-psr1 19490  df-vr1 19491  df-ply1 19492  df-cnfld 19687  df-zring 19759  df-zrh 19792  df-dsmm 20016  df-frlm 20031  df-mamu 20130  df-mat 20154  df-mdet 20331  df-mat2pmat 20452  df-chpmat 20572
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator