MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fznn0sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fznn0sub 12195
Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fznn0sub (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem fznn0sub
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 12161 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2 uznn0sub 11547 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  cmin 10113  0cn0 11135  cuz 11515  ...cfz 12148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149
This theorem is referenced by:  fznn0sub2  12266  bcrpcl  12908  bcm1k  12915  bcp1n  12916  bcval5  12918  bcpasc  12921  permnn  12926  swrdlen  13217  swrd0swrd  13255  binomlem  14342  binom1p  14344  mertenslem1  14397  mertens  14399  binomfallfaclem1  14551  binomfallfaclem2  14552  fallfacval4  14555  bcfallfac  14556  bpolycl  14564  bpolysum  14565  bpolydiflem  14566  efaddlem  14604  pcbc  15384  srgbinomlem3  18307  srgbinomlem4  18308  srgbinomlem  18309  coe1mul2  19402  coe1tmmul2  19409  coe1tmmul  19410  cply1mul  19427  lply1binomsc  19440  decpmatmul  20334  pm2mpmhmlem2  20381  chpscmatgsumbin  20406  chpscmatgsummon  20407  coe1mul3  23576  plymullem1  23687  plymullem  23689  coemullem  23723  coemulhi  23727  coemulc  23728  vieta1lem2  23783  aareccl  23798  aalioulem1  23804  dvntaylp  23842  dvntaylp0  23843  birthdaylem2  24392  basellem3  24522  plymulx0  29752  jm2.22  36379  jm2.23  36380  dvnmul  38633  pwdif  39840  ply1mulgsumlem2  41967  ply1mulgsum  41970
  Copyright terms: Public domain W3C validator