MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fznn0sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fznn0sub 12331
Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fznn0sub (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem fznn0sub
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 12297 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2 uznn0sub 11679 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  cmin 10226  0cn0 11252  cuz 11647  ...cfz 12284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285
This theorem is referenced by:  fznn0sub2  12403  bcrpcl  13051  bcm1k  13058  bcp1n  13059  bcval5  13061  bcpasc  13064  permnn  13069  swrdlen  13377  swrd0swrd  13415  binomlem  14505  binom1p  14507  mertenslem1  14560  mertens  14562  binomfallfaclem1  14714  binomfallfaclem2  14715  fallfacval4  14718  bcfallfac  14719  bpolycl  14727  bpolysum  14728  bpolydiflem  14729  efaddlem  14767  pcbc  15547  srgbinomlem3  18482  srgbinomlem4  18483  srgbinomlem  18484  coe1mul2  19579  coe1tmmul2  19586  coe1tmmul  19587  cply1mul  19604  lply1binomsc  19617  decpmatmul  20517  pm2mpmhmlem2  20564  chpscmatgsumbin  20589  chpscmatgsummon  20590  coe1mul3  23797  plymullem1  23908  plymullem  23910  coemullem  23944  coemulhi  23948  coemulc  23949  vieta1lem2  24004  aareccl  24019  aalioulem1  24025  dvntaylp  24063  dvntaylp0  24064  birthdaylem2  24613  basellem3  24743  plymulx0  30446  jm2.22  37081  jm2.23  37082  dvnmul  39495  pwdif  40830  ply1mulgsumlem2  41493  ply1mulgsum  41496
  Copyright terms: Public domain W3C validator