MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccl 13057
Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bccl ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem bccl
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6617 . . . . 5 (𝑚 = 0 → (𝑚C𝑘) = (0C𝑘))
21eleq1d 2683 . . . 4 (𝑚 = 0 → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (0C𝑘) ∈ ℕ0))
32ralbidv 2981 . . 3 (𝑚 = 0 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (0C𝑘) ∈ ℕ0))
4 oveq1 6617 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚C𝑘) = (𝑛C𝑘))
54eleq1d 2683 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0))
65ralbidv 2981 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0))
7 oveq1 6617 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚C𝑘) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
87eleq1d 2683 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
98ralbidv 2981 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
10 oveq1 6617 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚C𝑘) = (𝑁C𝑘))
1110eleq1d 2683 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0))
1211ralbidv 2981 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0))
13 elfz1eq 12302 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
1413adantl 482 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → 𝑘 = 0)
15 oveq2 6618 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
16 0nn0 11259 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
17 bcn0 13045 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0C0) = 1
19 1nn0 11260 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2018, 19eqeltri 2694 . . . . . . 7 (0C0) ∈ ℕ0
2115, 20syl6eqel 2706 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
2214, 21syl 17 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
23 bcval3 13041 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) = 0)
2416, 23mp3an1 1408 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) = 0)
2524, 16syl6eqel 2706 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
2622, 25pm2.61dan 831 . . . 4 (𝑘 ∈ ℤ → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
2726rgen 2917 . . 3 𝑘 ∈ ℤ (0C𝑘) ∈ ℕ0
28 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑛C𝑘) = (𝑛C𝑚))
2928eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑛C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0))
3029cbvralv 3162 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0)
31 bcpasc 13056 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
3231adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
33 oveq2 6618 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → (𝑛C𝑚) = (𝑛C𝑘))
3433eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0))
3534rspccva 3297 . . . . . . . . 9 ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0)
36 peano2zm 11372 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
37 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (𝑛C𝑚) = (𝑛C(𝑘 − 1)))
3837eleq1d 2683 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0))
3938rspccva 3297 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑛C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
4036, 39sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑛C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
4135, 40nn0addcld 11307 . . . . . . . 8 ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) ∈ ℕ0)
4241adantll 749 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) ∈ ℕ0)
4332, 42eqeltrrd 2699 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
4443ralrimiva 2961 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
4544ex 450 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
4630, 45syl5bi 232 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0 → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
473, 6, 9, 12, 27, 46nn0ind 11424 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
48 oveq2 6618 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝐾))
4948eleq1d 2683 . . 3 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0))
5049rspccva 3297 . 2 ((∀𝑘 ∈ ℤ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
5147, 50sylan 488 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891  cmin 10218  0cn0 11244  cz 11329  ...cfz 12276  Ccbc 13037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-seq 12750  df-fac 13009  df-bc 13038
This theorem is referenced by:  bccl2  13058  bcn2m1  13059  bcn2p1  13060  binomlem  14497  bcxmas  14503  binomfallfaclem1  14706  binomfallfaclem2  14707  binomrisefac  14709  bpolycl  14719  bpolysum  14720  bpolydiflem  14721  bpoly4  14726  srgbinomlem3  18474  srgbinomlem4  18475  srgbinomlem  18476  chpscmatgsummon  20582  basellem2  24725  basellem3  24726  basellem5  24728  chtublem  24853  bcmono  24919  bcp1ctr  24921  bclbnd  24922  bcprod  31367  bccolsum  31368  fwddifnp1  31949  jm2.22  37077  jm2.23  37078  bccld  39026  altgsumbc  41444  altgsumbcALT  41445
  Copyright terms: Public domain W3C validator