Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coseq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coseq0 38647
 Description: A complex number whose cosine is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
coseq0 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ ((𝐴 / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))

Proof of Theorem coseq0
StepHypRef Expression
1 picn 23902 . . . . . 6 π ∈ ℂ
21a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℂ)
32halfcld 11032 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
4 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
53, 4addcld 9814 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) + 𝐴) ∈ ℂ)
6 sineq0 23964 . . 3 (((π / 2) + 𝐴) ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) + 𝐴)) = 0 ↔ (((π / 2) + 𝐴) / π) ∈ ℤ))
75, 6syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) + 𝐴)) = 0 ↔ (((π / 2) + 𝐴) / π) ∈ ℤ))
8 sinhalfpip 23935 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + 𝐴)) = (cos‘𝐴))
98eqeq1d 2516 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) + 𝐴)) = 0 ↔ (cos‘𝐴) = 0))
10 pire 23901 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
11 pipos 23903 . . . . . . 7 0 < π
1210, 11gt0ne0ii 10313 . . . . . 6 π ≠ 0
1312a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → π ≠ 0)
143, 4, 2, 13divdird 10588 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) + 𝐴) / π) = (((π / 2) / π) + (𝐴 / π)))
15 2cnd 10848 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
16 2ne0 10868 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
182, 15, 2, 17, 13divdiv32d 10575 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) / π) = ((π / π) / 2))
192, 13dividd 10548 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (π / π) = 1)
2019oveq1d 6441 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((π / π) / 2) = (1 / 2))
2118, 20eqtrd 2548 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) / π) = (1 / 2))
2221oveq1d 6441 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) / π) + (𝐴 / π)) = ((1 / 2) + (𝐴 / π)))
23 1cnd 9811 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
2423halfcld 11032 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
254, 2, 13divcld 10550 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / π) ∈ ℂ)
2624, 25addcomd 9989 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (𝐴 / π)) = ((𝐴 / π) + (1 / 2)))
2714, 22, 263eqtrd 2552 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) + 𝐴) / π) = ((𝐴 / π) + (1 / 2)))
2827eleq1d 2576 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((((π / 2) + 𝐴) / π) ∈ ℤ ↔ ((𝐴 / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
297, 9, 283bitr3d 296 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ ((𝐴 / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   = wceq 1474   ∈ wcel 1938   ≠ wne 2684  ‘cfv 5689  (class class class)co 6426  ℂcc 9689  0cc0 9691  1c1 9692   + caddc 9694   / cdiv 10433  2c2 10825  ℤcz 11118  sincsin 14502  cosccos 14503  πcpi 14505 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-supp 7058  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-2o 7324  df-oadd 7327  df-er 7505  df-map 7622  df-pm 7623  df-ixp 7671  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-fsupp 8035  df-fi 8076  df-sup 8107  df-inf 8108  df-oi 8174  df-card 8524  df-cda 8749  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-q 11531  df-rp 11575  df-xneg 11688  df-xadd 11689  df-xmul 11690  df-ioo 11919  df-ioc 11920  df-ico 11921  df-icc 11922  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-fl 12323  df-mod 12399  df-seq 12532  df-exp 12591  df-fac 12791  df-bc 12820  df-hash 12848  df-shft 13514  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-limsup 13910  df-clim 13933  df-rlim 13934  df-sum 14134  df-ef 14506  df-sin 14508  df-cos 14509  df-pi 14511  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-sca 15668  df-vsca 15669  df-ip 15670  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-hom 15677  df-cco 15678  df-rest 15790  df-topn 15791  df-0g 15809  df-gsum 15810  df-topgen 15811  df-pt 15812  df-prds 15815  df-xrs 15869  df-qtop 15875  df-imas 15876  df-xps 15879  df-mre 15961  df-mrc 15962  df-acs 15964  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-submnd 17051  df-mulg 17256  df-cntz 17465  df-cmn 17926  df-psmet 19463  df-xmet 19464  df-met 19465  df-bl 19466  df-mopn 19467  df-fbas 19468  df-fg 19469  df-cnfld 19472  df-top 20424  df-bases 20425  df-topon 20426  df-topsp 20427  df-cld 20536  df-ntr 20537  df-cls 20538  df-nei 20615  df-lp 20653  df-perf 20654  df-cn 20744  df-cnp 20745  df-haus 20832  df-tx 21078  df-hmeo 21271  df-fil 21363  df-fm 21455  df-flim 21456  df-flf 21457  df-xms 21837  df-ms 21838  df-tms 21839  df-cncf 22412  df-limc 23311  df-dv 23312 This theorem is referenced by:  dirkercncflem1  38899  dirkercncflem2  38900
 Copyright terms: Public domain W3C validator