MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pipos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pipos 24206
Description: π is positive. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pipos 0 < π

Proof of Theorem pipos
StepHypRef Expression
1 2pos 11109 . 2 0 < 2
2 pigt2lt4 24202 . . 3 (2 < π ∧ π < 4)
32simpli 474 . 2 2 < π
4 0re 10037 . . 3 0 ∈ ℝ
5 2re 11087 . . 3 2 ∈ ℝ
6 pire 24204 . . 3 π ∈ ℝ
74, 5, 6lttri 10160 . 2 ((0 < 2 ∧ 2 < π) → 0 < π)
81, 3, 7mp2an 708 1 0 < π
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 4651  0cc0 9933   < clt 10071  2c2 11067  4c4 11069  πcpi 14791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-ioo 12176  df-ioc 12177  df-ico 12178  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-seq 12797  df-exp 12856  df-fac 13056  df-bc 13085  df-hash 13113  df-shft 13801  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-limsup 14196  df-clim 14213  df-rlim 14214  df-sum 14411  df-ef 14792  df-sin 14794  df-cos 14795  df-pi 14797  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-hom 15960  df-cco 15961  df-rest 16077  df-topn 16078  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-topgen 16098  df-pt 16099  df-prds 16102  df-xrs 16156  df-qtop 16161  df-imas 16162  df-xps 16164  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-mulg 17535  df-cntz 17744  df-cmn 18189  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-fbas 19737  df-fg 19738  df-cnfld 19741  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-cld 20817  df-ntr 20818  df-cls 20819  df-nei 20896  df-lp 20934  df-perf 20935  df-cn 21025  df-cnp 21026  df-haus 21113  df-tx 21359  df-hmeo 21552  df-fil 21644  df-fm 21736  df-flim 21737  df-flf 21738  df-xms 22119  df-ms 22120  df-tms 22121  df-cncf 22675  df-limc 23624  df-dv 23625
This theorem is referenced by:  pirp  24207  sinhalfpilem  24209  sincos4thpi  24259  sincos6thpi  24261  sineq0  24267  coseq1  24268  efeq1  24269  cosne0  24270  recosf1o  24275  tanord1  24277  efif1olem2  24283  efif1olem4  24285  relogrn  24302  logneg  24328  eflogeq  24342  logneg2  24355  logf1o2  24390  root1eq1  24490  logbrec  24514  ang180lem1  24533  ang180lem2  24534  ang180lem3  24535  asin1  24615  basellem4  24804  itgexpif  30669  logi  31606  bj-pinftyccb  33088  bj-minftyccb  33092  bj-pinftynminfty  33094  tan2h  33381  pigt3  33382  proot1ex  37605  isosctrlem1ALT  38996  sineq0ALT  38999  negpilt0  39311  coseq0  39844  sinaover2ne0  39848  itgsin0pilem1  39934  itgsinexplem1  39938  wallispilem2  40052  wallispi  40056  stirlinglem15  40074  stirlingr  40076  dirker2re  40078  dirkerdenne0  40079  dirkerval2  40080  dirkerre  40081  dirkertrigeqlem1  40084  dirkertrigeqlem2  40085  dirkertrigeqlem3  40086  dirkertrigeq  40087  dirkeritg  40088  dirkercncflem1  40089  dirkercncflem2  40090  dirkercncflem4  40092  fourierdlem16  40109  fourierdlem21  40114  fourierdlem22  40115  fourierdlem24  40117  fourierdlem62  40154  fourierdlem66  40158  fourierdlem83  40175  fourierdlem94  40186  fourierdlem95  40187  fourierdlem102  40194  fourierdlem103  40195  fourierdlem104  40196  fourierdlem111  40203  fourierdlem112  40204  fourierdlem113  40205  fourierdlem114  40206  sqwvfoura  40214  sqwvfourb  40215  fourierswlem  40216  fouriersw  40217
  Copyright terms: Public domain W3C validator