Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkercncflem1 40638
Description: If 𝑌 is a multiple of π then it belongs to an open inerval (𝐴(,)𝐵) such that for any other point 𝑦 in the interval, cos y/2 and sin y/2 are non zero. Such an interval is needed to apply De L'Hopital theorem. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem1.a 𝐴 = (𝑌 − π)
dirkercncflem1.b 𝐵 = (𝑌 + π)
dirkercncflem1.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem1.ymod0 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑌   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem dirkercncflem1
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem1.a . . . 4 𝐴 = (𝑌 − π)
2 dirkercncflem1.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 pire 24255 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ℝ)
52, 4resubcld 10496 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 − π) ∈ ℝ)
65rexrd 10127 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 − π) ∈ ℝ*)
71, 6syl5eqel 2734 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
8 dirkercncflem1.b . . . 4 𝐵 = (𝑌 + π)
92, 4readdcld 10107 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + π) ∈ ℝ)
109rexrd 10127 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + π) ∈ ℝ*)
118, 10syl5eqel 2734 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
12 pipos 24257 . . . . . 6 0 < π
13 ltsubpos 10558 . . . . . 6 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (0 < π ↔ (𝑌 − π) < 𝑌))
1412, 13mpbii 223 . . . . 5 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌 − π) < 𝑌)
154, 2, 14syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 − π) < 𝑌)
161, 15syl5eqbr 4720 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝑌)
17 ltaddpos 10556 . . . . . 6 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (0 < π ↔ 𝑌 < (𝑌 + π)))
1812, 17mpbii 223 . . . . 5 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 < (𝑌 + π))
194, 2, 18syl2anc 694 . . . 4 (𝜑𝑌 < (𝑌 + π))
2019, 8syl6breqr 4727 . . 3 (𝜑𝑌 < 𝐵)
217, 11, 2, 16, 20eliood 40038 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
22 eldifi 3765 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2322elioored 40094 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ ℝ)
2423adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℝ)
2524recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℂ)
26 2cnd 11131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ∈ ℂ)
27 picn 24256 . . . . . . . . 9 π ∈ ℂ
2827a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ∈ ℂ)
29 2ne0 11151 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ≠ 0)
313, 12gt0ne0ii 10602 . . . . . . . . 9 π ≠ 0
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ≠ 0)
3325, 26, 28, 30, 32divdiv1d 10870 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
34 dirkercncflem1.ymod0 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
35 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
37 pirp 24258 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ+
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π ∈ ℝ+)
3936, 38rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ+)
40 mod0 12715 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
412, 39, 40syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
4234, 41mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
43 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
4544ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
4644zred 11520 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℝ)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℝ)
481, 5syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4948, 39rerpdivcld 11941 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5049adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5139rpred 11910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ)
5251adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ)
5339rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ≠ 0)
5524, 52, 54redivcld 10891 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5651recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
5756, 53dividd 10837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · π) / (2 · π)) = 1)
5857eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 = ((2 · π) / (2 · π)))
5958oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) = ((𝑌 / (2 · π)) − ((2 · π) / (2 · π))))
602recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
6160, 56, 56, 53divsubdird 10878 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) − ((2 · π) / (2 · π))))
6259, 61eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) = ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)))
632, 51resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) ∈ ℝ)
6427mulid2i 10081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · π) = π
6564eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π = (1 · π)
66 1lt2 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
67 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
68 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
6967, 68, 3, 12ltmul1ii 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 < 2 ↔ (1 · π) < (2 · π))
7066, 69mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 · π) < (2 · π)
7165, 70eqbrtri 4706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π < (2 · π)
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → π < (2 · π))
734, 51, 2, 72ltsub2dd 10678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) < (𝑌 − π))
7473, 1syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) < 𝐴)
7563, 48, 39, 74ltdiv1dd 11967 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)) < (𝐴 / (2 · π)))
7662, 75eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝐴 / (2 · π)))
7776adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝐴 / (2 · π)))
7848adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 ∈ ℝ)
7939adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ+)
8022adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
83 elioo2 12254 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
8481, 82, 83syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
8580, 84mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
8685simp2d 1094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 < 𝑦)
8778, 24, 79, 86ltdiv1dd 11967 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐴 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
8847, 50, 55, 77, 87lttrd 10236 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)))
8988adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)))
9023ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
912ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
9239ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (2 · π) ∈ ℝ+)
93 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 < 𝑌)
9490, 91, 92, 93ltdiv1dd 11967 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝑌 / (2 · π)))
9560, 56, 53divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
97 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℂ)
9896, 97npcand 10434 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1) = (𝑌 / (2 · π)))
9998eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
10099adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
10194, 100breqtrd 4711 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
102 btwnnz 11491 . . . . . . . . 9 ((((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
10345, 89, 101, 102syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
10442ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
1052ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
10624adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
10779adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (2 · π) ∈ ℝ+)
10824adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
1092ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
110 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑌)
111 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦𝑌)
112111necomd 2878 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑌𝑦)
113112ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑌𝑦)
114108, 109, 110, 113leneltd 10229 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦 < 𝑌)
115114stoic1a 1737 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → ¬ 𝑦𝑌)
116105, 106ltnled 10222 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑌))
117115, 116mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 < 𝑦)
118105, 106, 107, 117ltdiv1dd 11967 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
1198, 9syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
120119, 39rerpdivcld 11941 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) ∈ ℝ)
121120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐵 / (2 · π)) ∈ ℝ)
1222, 39rerpdivcld 11941 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
123122adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
124 1red 10093 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℝ)
125123, 124readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) + 1) ∈ ℝ)
126119adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐵 ∈ ℝ)
12785simp3d 1095 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 < 𝐵)
12824, 126, 79, 127ltdiv1dd 11967 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝐵 / (2 · π)))
1298oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 / (2 · π)) = ((𝑌 + π) / (2 · π))
13027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → π ∈ ℂ)
13160, 130, 56, 53divdird 10877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))))
1324, 39rerpdivcld 11941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (π / (2 · π)) ∈ ℝ)
133 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
134 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℂ
135134, 27mulcomi 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · π) = (π · 2)
136135oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π / (2 · π)) = (π / (π · 2))
13727, 31pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
138 2cnne0 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
139 divdiv1 10774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π ∈ ℂ ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((π / π) / 2) = (π / (π · 2)))
14027, 137, 138, 139mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π / π) / 2) = (π / (π · 2))
14127, 31dividi 10796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π / π) = 1
142141oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π / π) / 2) = (1 / 2)
143136, 140, 1423eqtr2i 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / (2 · π)) = (1 / 2)
144 halflt1 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 2) < 1
145143, 144eqbrtri 4706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π / (2 · π)) < 1
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (π / (2 · π)) < 1)
147132, 133, 122, 146ltadd2dd 10234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
148131, 147eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
149129, 148syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
150149adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐵 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
15155, 121, 125, 128, 150lttrd 10236 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
152151adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
153 btwnnz 11491 . . . . . . . . 9 (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
154104, 118, 152, 153syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
155103, 154pm2.61dan 849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
15633, 155eqneltrd 2749 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
15725halfcld 11315 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
158 sineq0 24318 . . . . . . 7 ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
159157, 158syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
160156, 159mtbird 314 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
161160neqned 2830 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
16233oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) = ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
16342adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
1641a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 = (𝑌 − π))
165164oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 + π) = ((𝑌 − π) + π))
16660, 130npcand 10434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 − π) + π) = 𝑌)
167165, 166eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 = (𝐴 + π))
168167oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 + π) / (2 · π)))
16948recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
170169, 130, 56, 53divdird 10877 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + π) / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (π / (2 · π))))
171130mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (π · 1) = π)
172171eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π = (π · 1))
173 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
174173, 130mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · π) = (π · 2))
175172, 174oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (π / (2 · π)) = ((π · 1) / (π · 2)))
176 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17729a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 0)
17831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π ≠ 0)
179176, 173, 130, 177, 178divcan5d 10865 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((π · 1) / (π · 2)) = (1 / 2))
180175, 179eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (π / (2 · π)) = (1 / 2))
181180oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
182168, 170, 1813eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
183182adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
184124rehalfcld 11317 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℝ)
18550, 55, 184, 87ltadd1dd 10676 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
186183, 185eqbrtrd 4707 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
18755, 121, 184, 128ltadd1dd 10676 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)))
188129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) = ((𝑌 + π) / (2 · π)))
189188oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = (((𝑌 + π) / (2 · π)) + (1 / 2)))
190180oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)))
191131, 190eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)))
192191oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑌 + π) / (2 · π)) + (1 / 2)) = (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
193176halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
19495, 193, 193addassd 10100 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
1951762halvesd 11316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
196195oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
197194, 196eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
198189, 192, 1973eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
199198adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
200187, 199breqtrd 4711 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
201 btwnnz 11491 . . . . . . . 8 (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∧ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1)) → ¬ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
202163, 186, 200, 201syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
203162, 202eqneltrd 2749 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
204 coseq0 40393 . . . . . . 7 ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
205157, 204syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((cos‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
206203, 205mtbird 314 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (cos‘(𝑦 / 2)) = 0)
207206neqned 2830 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
208161, 207jca 553 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
209208ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
21021, 209jca 553 1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  cdif 3604  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  cz 11415  +crp 11870  (,)cioo 12213   mod cmo 12708  sincsin 14838  cosccos 14839  πcpi 14841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  dirkercncflem3  40640
  Copyright terms: Public domain W3C validator