MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosq14gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosq14gt0 24166
Description: The cosine of a number strictly between -π / 2 and π / 2 is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosq14gt0 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosq14gt0
StepHypRef Expression
1 halfpire 24120 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ
2 elioore 12147 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 resubcl 10289 . . . . 5 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancr 694 . . . 4 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
5 neghalfpirx 24122 . . . . . . 7 -(π / 2) ∈ ℝ*
61rexri 10041 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ*
7 elioo2 12158 . . . . . . 7 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴𝐴 < (π / 2))))
85, 6, 7mp2an 707 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴𝐴 < (π / 2)))
98simp3bi 1076 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
10 posdif 10465 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 < (π / 2) ↔ 0 < ((π / 2) − 𝐴)))
112, 1, 10sylancl 693 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (𝐴 < (π / 2) ↔ 0 < ((π / 2) − 𝐴)))
129, 11mpbid 222 . . . 4 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < ((π / 2) − 𝐴))
13 picn 24115 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
14 halfcl 11201 . . . . . . . 8 (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℂ
1615negcli 10293 . . . . . . 7 -(π / 2) ∈ ℂ
1713, 15negsubi 10303 . . . . . . . 8 (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
18 pidiv2halves 24123 . . . . . . . . 9 ((π / 2) + (π / 2)) = π
1913, 15, 15, 18subaddrii 10314 . . . . . . . 8 (π − (π / 2)) = (π / 2)
2017, 19eqtri 2643 . . . . . . 7 (π + -(π / 2)) = (π / 2)
2115, 13, 16, 20subaddrii 10314 . . . . . 6 ((π / 2) − π) = -(π / 2)
228simp2bi 1075 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → -(π / 2) < 𝐴)
2321, 22syl5eqbr 4648 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − π) < 𝐴)
24 pire 24114 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
25 ltsub23 10452 . . . . . . 7 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (((π / 2) − 𝐴) < π ↔ ((π / 2) − π) < 𝐴))
261, 24, 25mp3an13 1412 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) − 𝐴) < π ↔ ((π / 2) − π) < 𝐴))
272, 26syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (((π / 2) − 𝐴) < π ↔ ((π / 2) − π) < 𝐴))
2823, 27mpbird 247 . . . 4 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) < π)
29 0xr 10030 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
3024rexri 10041 . . . . 5 π ∈ ℝ*
31 elioo2 12158 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (((π / 2) − 𝐴) ∈ (0(,)π) ↔ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π / 2) − 𝐴) ∧ ((π / 2) − 𝐴) < π)))
3229, 30, 31mp2an 707 . . . 4 (((π / 2) − 𝐴) ∈ (0(,)π) ↔ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π / 2) − 𝐴) ∧ ((π / 2) − 𝐴) < π))
334, 12, 28, 32syl3anbrc 1244 . . 3 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ (0(,)π))
34 sinq12gt0 24163 . . 3 (((π / 2) − 𝐴) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
3533, 34syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
362recnd 10012 . . 3 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
37 sinhalfpim 24149 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − 𝐴)) = (cos‘𝐴))
3836, 37syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (sin‘((π / 2) − 𝐴)) = (cos‘𝐴))
3935, 38breqtrd 4639 1 (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883  *cxr 10017   < clt 10018  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  2c2 11014  (,)cioo 12117  sincsin 14719  cosccos 14720  πcpi 14722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  tanord1  24187  logcnlem4  24291  asinsinlem  24518
  Copyright terms: Public domain W3C validator