MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logcnlem4 24590
Description: Lemma for logcn 24592. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a (𝜑𝐴𝐷)
logcnlem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
logcnlem.b (𝜑𝐵𝐷)
logcnlem.l (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
Assertion
Ref Expression
logcnlem4 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)

Proof of Theorem logcnlem4
StepHypRef Expression
1 logcnlem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐷)
2 logcn.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
32ellogdm 24584 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
43simplbi 478 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
62logdmn0 24585 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷𝐴 ≠ 0)
71, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
85, 7logcld 24516 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
98imcld 14134 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
109recnd 10260 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
11 logcnlem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐷)
122ellogdm 24584 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐷 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ+)))
1312simplbi 478 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ∈ ℂ)
1411, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
152logdmn0 24585 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ≠ 0)
1611, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ 0)
1714, 16logcld 24516 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
1817imcld 14134 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
1918recnd 10260 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
2010, 19abssubd 14391 . . 3 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
2117, 8imsubd 14156 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
22 efsub 15029 . . . . . . . . . 10 (((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
2317, 8, 22syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
24 eflog 24522 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
2514, 16, 24syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
26 eflog 24522 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
275, 7, 26syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
2825, 27oveq12d 6831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
2923, 28eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
3014, 5, 7divcld 10993 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
3114, 5, 16, 7divne0d 11009 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
3217, 8subcld 10584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
33 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
34 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
35 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
36 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
372, 33, 34, 1, 35, 11, 36logcnlem3 24589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
3837simpld 477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
3938, 21breqtrrd 4832 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))))
4037simprd 482 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
4121, 40eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π)
42 ellogrn 24505 . . . . . . . . . 10 (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π))
4332, 39, 41, 42syl3anbrc 1429 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log)
44 logeftb 24529 . . . . . . . . 9 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ≠ 0 ∧ ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log) → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
4530, 31, 43, 44syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
4629, 45mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)))
4746eqcomd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) = (log‘(𝐵 / 𝐴)))
4847fveq2d 6356 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
4921, 48eqtr3d 2796 . . . 4 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
5049fveq2d 6356 . . 3 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
5120, 50eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
5230, 31logcld 24516 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
5352imcld 14134 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
5453recnd 10260 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℂ)
5554abscld 14374 . . 3 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
56 0red 10233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
57 1re 10231 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
585, 14subcld 10584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
5958abscld 14374 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
605, 7absrpcld 14386 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6159, 60rerpdivcld 12096 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
62 resubcl 10537 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
6357, 61, 62sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
6430recld 14133 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
655abscld 14374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6635rpred 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
67 1rp 12029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ+
68 rpaddcl 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
6967, 35, 68sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
7066, 69rerpdivcld 12096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ)
7165, 70remulcld 10262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ)
7234, 71syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
73 rpre 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
7473adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
755imcld 14134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7675recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
7776abscld 14374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
7877adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
7974, 78ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
8033, 79syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
81 ltmin 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)))
8259, 80, 72, 81syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)))
8336, 82mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇))
8483simprd 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)
8569rpred 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ)
8666ltp1d 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 < (𝑅 + 1))
8766recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
88 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
89 addcom 10414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
9087, 88, 89sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
9186, 90breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑅 < (1 + 𝑅))
9266, 85, 91ltled 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑅 ≤ (1 + 𝑅))
9385recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℂ)
9493mulid1d 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + 𝑅) · 1) = (1 + 𝑅))
9592, 94breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1))
9657a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9766, 96, 69ledivmuld 12118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ 𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1)))
9895, 97mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1)
9970, 96, 60lemul2d 12109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1)))
10098, 99mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
10165recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
102101mulid1d 10249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
103100, 102breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ (abs‘𝐴))
10434, 103syl5eqbr 4839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ≤ (abs‘𝐴))
10559, 72, 65, 84, 104ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘𝐴))
106105, 102breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1))
10759, 96, 60ltdivmuld 12116 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1)))
108106, 107mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1)
109 posdif 10713 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
11061, 57, 109sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
111108, 110mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
11258, 5, 7divcld 10993 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) ∈ ℂ)
113112releabsd 14389 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐴)))
1145, 14, 5, 7divsubdird 11032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)))
1155, 7dividd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
116115oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
117114, 116eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
118117fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))))
119 resub 14066 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
12088, 30, 119sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
121118, 120eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
122 re1 14093 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℜ‘1) = 1
123122oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
124121, 123syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
12558, 5, 7absdivd 14393 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
126113, 124, 1253brtr3d 4835 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
12796, 64, 61, 126subled 10822 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
12856, 63, 64, 111, 127ltletrd 10389 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
129 argregt0 24555 . . . . . . . . 9 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
13030, 128, 129syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
131 cosq14gt0 24461 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
132130, 131syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
133132gt0ne0d 10784 . . . . . 6 (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≠ 0)
13453, 133retancld 15074 . . . . 5 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
135134recnd 10260 . . . 4 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℂ)
136135abscld 14374 . . 3 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) ∈ ℝ)
137 tanabsge 24457 . . . 4 ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
138130, 137syl 17 . . 3 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
139128gt0ne0d 10784 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0)
140 tanarg 24564 . . . . . . 7 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
14130, 139, 140syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
142141fveq2d 6356 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
14330imcld 14134 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
144143recnd 10260 . . . . . 6 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
14564recnd 10260 . . . . . 6 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
146144, 145, 139absdivd 14393 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
14756, 64, 128ltled 10377 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
14864, 147absidd 14360 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
149148oveq2d 6829 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
150142, 146, 1493eqtrd 2798 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
151144abscld 14374 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
15264, 66remulcld 10262 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ∈ ℝ)
15314, 5subcld 10584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
154153, 5, 7divcld 10993 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ)
155 absimle 14248 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
156154, 155syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
15714, 5, 5, 7divsubdird 11032 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)))
158115oveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
159157, 158eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
160159fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
161 imsub 14074 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
16230, 88, 161sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
163 im1 14094 . . . . . . . . . . 11 (ℑ‘1) = 0
164163oveq2i 6824 . . . . . . . . . 10 ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0)
165162, 164syl6eq 2810 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0))
166144subid1d 10573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0) = (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)))
167160, 165, 1663eqtrrd 2799 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
168167fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) = (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))))
1695, 14abssubd 14391 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
170169oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) = ((abs‘(𝐵𝐴)) / (abs‘𝐴)))
171153, 5, 7absdivd 14393 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐵𝐴)) / (abs‘𝐴)))
172170, 171eqtr4d 2797 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) = (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
173156, 168, 1723brtr4d 4836 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
17465, 59resubcld 10650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
175174, 66remulcld 10262 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ∈ ℝ)
17665, 152remulcld 10262 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)) ∈ ℝ)
17759recnd 10260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
17888a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
179177, 178, 87adddid 10256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) = (((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
180177mulid1d 10249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) = (abs‘(𝐴𝐵)))
181180oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
182179, 181eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
18369rpne0d 12070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 + 𝑅) ≠ 0)
184101, 87, 93, 183divassd 11028 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))))
185184, 34syl6eqr 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = 𝑇)
18684, 185breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)))
18765, 66remulcld 10262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
18859, 187, 69ltmuldivd 12112 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅))))
189186, 188mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
190182, 189eqbrtrrd 4828 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
19159, 66remulcld 10262 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅) ∈ ℝ)
19259, 191, 187ltaddsubd 10819 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅))))
193190, 192mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
194101, 177, 87subdird 10679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) = (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
195193, 194breqtrrd 4832 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅))
19660rpne0d 12070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≠ 0)
197101, 177, 101, 196divsubdird 11032 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
198101, 196dividd 10991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
199198oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) = (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
200197, 199eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
201200, 127eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
202174, 64, 60ledivmuld 12118 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ↔ ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
203201, 202mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
20465, 64remulcld 10262 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
205174, 204, 35lemul1d 12108 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ↔ (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅)))
206203, 205mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅))
207101, 145, 87mulassd 10255 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅) = ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
208206, 207breqtrd 4830 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
20959, 175, 176, 195, 208ltletrd 10389 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
21059, 152, 60ltdivmuld 12116 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))))
211209, 210mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
212151, 61, 152, 173, 211lelttrd 10387 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
213 ltdivmul 11090 . . . . . 6 (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
214151, 66, 64, 128, 213syl112anc 1481 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
215212, 214mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅)
216150, 215eqbrtrd 4826 . . 3 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) < 𝑅)
21755, 136, 66, 138, 216lelttrd 10387 . 2 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) < 𝑅)
21851, 217eqbrtrd 4826 1 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  ifcif 4230   class class class wbr 4804  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  -∞cmnf 10264   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  2c2 11262  +crp 12025  (,)cioo 12368  (,]cioc 12369  cre 14036  cim 14037  abscabs 14173  expce 14991  cosccos 14994  tanctan 14995  πcpi 14996  logclog 24500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-tan 15001  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502
This theorem is referenced by:  logcnlem5  24591
  Copyright terms: Public domain W3C validator