MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrpt 24905
Description: For any element other than 1, there is a Dirichlet character that is not one at the given element. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1 1 = (1r𝑍)
dchrpt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1 (𝜑𝐴1 )
dchrpt.a (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
dchrpt (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑍   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dchrpt
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.g . . . . 5 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrpt.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrpt.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 dchrpt.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑍)
5 dchrpt.1 . . . . 5 1 = (1r𝑍)
6 dchrpt.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76ad3antrrr 765 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8 dchrpt.n1 . . . . . 6 (𝜑𝐴1 )
98ad3antrrr 765 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝐴1 )
10 eqid 2621 . . . . 5 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
11 eqid 2621 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))
12 eqid 2621 . . . . 5 (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))
13 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑏 → (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)) = (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))
1413cbvmptv 4715 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))
15 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑎 → (𝑤𝑘) = (𝑤𝑎))
1615oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑎 → (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)) = (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑎)))
1716mpteq2dv 4710 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑎))))
1814, 17syl5eq 2667 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑎 → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))) = (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑎))))
1918rneqd 5318 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑎 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))) = ran (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑎))))
2019cbvmptv 4715 . . . . 5 (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) = (𝑎 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑏 ∈ ℤ ↦ (𝑏(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑎))))
21 simpllr 798 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍))
22 simplr 791 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍))
23 simprl 793 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))))
24 simprr 795 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))
251, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24dchrptlem3 24904 . . . 4 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
26253adantr1 1218 . . 3 ((((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) ∧ 𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)) ∧ ((𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))):dom 𝑤⟶{𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ∧ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍))) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
2710, 11unitgrpbas 18594 . . . 4 (Unit‘𝑍) = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))
28 eqid 2621 . . . 4 {𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} = {𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
296nnnn0d 11302 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
302zncrng 19821 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
3110, 11unitabl 18596 . . . . . 6 (𝑍 ∈ CRing → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
3229, 30, 313syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
3332adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ∈ Abel)
342, 4znfi 19836 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
356, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
364, 10unitss 18588 . . . . . 6 (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵
37 ssfi 8131 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (Unit‘𝑍) ⊆ 𝐵) → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
3835, 36, 37sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
3938adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (Unit‘𝑍) ∈ Fin)
40 eqid 2621 . . . 4 (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) = (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))
4127, 28, 33, 39, 12, 40ablfac2 18416 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑤 ∈ Word (Unit‘𝑍)((𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))):dom 𝑤⟶{𝑢 ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))) ∣ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) ↾s 𝑢) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ∧ ((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍))dom DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘)))) ∧ (((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)) DProd (𝑘 ∈ dom 𝑤 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s (Unit‘𝑍)))(𝑤𝑘))))) = (Unit‘𝑍)))
4226, 41r19.29a 3072 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
431dchrabl 24892 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
44 ablgrp 18126 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
45 eqid 2621 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
463, 45grpidcl 17378 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
476, 43, 44, 464syl 19 . . . 4 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
4847adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
49 0ne1 11039 . . . 4 0 ≠ 1
50 dchrpt.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
511, 2, 3, 4, 10, 47, 50dchrn0 24888 . . . . . . 7 (𝜑 → (((0g𝐺)‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)))
5251necon1bbid 2829 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍) ↔ ((0g𝐺)‘𝐴) = 0))
5352biimpa 501 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((0g𝐺)‘𝐴) = 0)
5453neeq1d 2849 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → (((0g𝐺)‘𝐴) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
5549, 54mpbiri 248 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ((0g𝐺)‘𝐴) ≠ 1)
56 fveq1 6152 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑥𝐴) = ((0g𝐺)‘𝐴))
5756neeq1d 2849 . . . 4 (𝑥 = (0g𝐺) → ((𝑥𝐴) ≠ 1 ↔ ((0g𝐺)‘𝐴) ≠ 1))
5857rspcev 3298 . . 3 (((0g𝐺) ∈ 𝐷 ∧ ((0g𝐺)‘𝐴) ≠ 1) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
5948, 55, 58syl2anc 692 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑍)) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
6042, 59pm2.61dan 831 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  {crab 2911  cin 3558  wss 3559   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  ran crn 5080  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7906  0cc0 9887  1c1 9888  cn 10971  0cn0 11243  cz 11328  Word cword 13237  Basecbs 15788  s cress 15789  0gc0g 16028  Grpcgrp 17350  .gcmg 17468  SubGrpcsubg 17516   pGrp cpgp 17874  Abelcabl 18122  CycGrpccyg 18207   DProd cdprd 18320  mulGrpcmgp 18417  1rcur 18429  CRingccrg 18476  Unitcui 18567  ℤ/nczn 19779  DChrcdchr 24870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-rpss 6897  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-ec 7696  df-qs 7700  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-acn 8719  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-xnn0 11315  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ioc 12129  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-bc 13037  df-hash 13065  df-word 13245  df-concat 13247  df-s1 13248  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-ef 14730  df-sin 14732  df-cos 14733  df-pi 14735  df-dvds 14915  df-gcd 15148  df-prm 15317  df-pc 15473  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-qus 16097  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-nsg 17520  df-eqg 17521  df-ghm 17586  df-gim 17629  df-ga 17651  df-cntz 17678  df-oppg 17704  df-od 17876  df-gex 17877  df-pgp 17878  df-lsm 17979  df-pj1 17980  df-cmn 18123  df-abl 18124  df-cyg 18208  df-dprd 18322  df-dpj 18323  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-cring 18478  df-oppr 18551  df-dvdsr 18569  df-unit 18570  df-invr 18600  df-rnghom 18643  df-subrg 18706  df-lmod 18793  df-lss 18861  df-lsp 18900  df-sra 19100  df-rgmod 19101  df-lidl 19102  df-rsp 19103  df-2idl 19160  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-zring 19747  df-zrh 19780  df-zn 19783  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lp 20859  df-perf 20860  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cncf 22600  df-limc 23549  df-dv 23550  df-log 24220  df-cxp 24221  df-dchr 24871
This theorem is referenced by:  sumdchr2  24908
  Copyright terms: Public domain W3C validator