Theorem dignn0flhalf 44698

Description: The digits of the rounded half of a nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0flhalf	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))

Proof of Theorem dignn0flhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzge2nn0 12288	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0eo 44608	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
4		dignn0ehalf 44697	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
5	1, 4	syl3an2 1160	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
6		eluzelz 12254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
7		nn0z 12006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
8		zefldiv2 44610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
9	6, 7, 8	syl2anr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
10	9	eqcomd 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
11	10	3adant3 1128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
12	11	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
13	5, 12	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
14	13	3exp 1115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
15	6	3ad2ant2 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
16		simp2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
17		simp1 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
18		nno 15733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
19	16, 17, 18	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
20		simp3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
21		dignn0flhalflem2 44696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
22	15, 19, 20, 21	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
23	22	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
24		2nn 11711	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
26		peano2nn0 11938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
27	26	3ad2ant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
28		nn0rp0 12844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
30	29	3ad2ant2 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
31		nn0digval 44680	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
32	25, 27, 30, 31	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
33		eluzelre 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	33	rehalfcld 11885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
35	1	nn0ge0d 11959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
36		2re 11712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		2pos 11741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
38	36, 37	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
40		divge0 11509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
41	33, 35, 39, 40	syl21anc 835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
42		flge0nn0 13191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
43	34, 41, 42	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
44	43	3ad2ant2 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
45		nn0rp0 12844	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
47		nn0digval 44680	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
48	25, 20, 46, 47	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
49	23, 32, 48	3eqtr4d 2866	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
50	49	3exp 1115	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
51	14, 50	jaoi 853	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
52	3, 51	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2)))))
53	52	imp 409	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540  +∞cpnf 10672   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870   / cdiv 11297  ℕcn 11638  2c2 11693  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  [,)cico 12741  ⌊cfl 13161   mod cmo 13238  ↑cexp 13430  digitcdig 44675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-ico 12745  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-dig 44676

This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  44700