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Theorem dignn0flhalf 41678
 Description: The digits of the rounded half of a nonnegative integer are the digits of the integer shifted by 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
dignn0flhalf ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))

Proof of Theorem dignn0flhalf
StepHypRef Expression
1 eluzge2nn0 11671 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0eo 41584 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
4 dignn0ehalf 41677 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
51, 4syl3an2 1357 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)))
6 eluzelz 11641 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
7 nn0z 11345 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
8 zefldiv2 41586 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
96, 7, 8syl2anr 495 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
109eqcomd 2632 . . . . . . . 8 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
11103adant3 1079 . . . . . . 7 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 / 2) = (⌊‘(𝐴 / 2)))
1211oveq2d 6621 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(𝐴 / 2)) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
135, 12eqtrd 2660 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
14133exp 1261 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
1563ad2ant2 1081 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
16 simp2 1060 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
17 simp1 1059 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
18 nno 15017 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1916, 17, 18syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ)
20 simp3 1061 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
21 dignn0flhalflem2 41676 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
2215, 19, 20, 21syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))))
2322oveq1d 6620 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
24 2nn 11130 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
26 peano2nn0 11278 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
27263ad2ant3 1082 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
28 nn0rp0 12218 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (0[,)+∞))
291, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
30293ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
31 nn0digval 41660 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
3225, 27, 30, 31syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = ((⌊‘(𝐴 / (2↑(𝐼 + 1)))) mod 2))
33 eluzelre 11642 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
3433rehalfcld 11224 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
351nn0ge0d 11299 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐴)
36 2re 11035 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
37 2pos 11057 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
3836, 37pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
40 divge0 10837 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
4133, 35, 39, 40syl21anc 1322 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ (𝐴 / 2))
42 flge0nn0 12558 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 2)) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
4334, 41, 42syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
44433ad2ant2 1081 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0)
45 nn0rp0 12218 . . . . . . . 8 ((⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞))
47 nn0digval 41660 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝐴 / 2)) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
4825, 20, 46, 47syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))) = ((⌊‘((⌊‘(𝐴 / 2)) / (2↑𝐼))) mod 2))
4923, 32, 483eqtr4d 2670 . . . . 5 ((((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
50493exp 1261 . . . 4 (((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
5114, 50jaoi 394 . . 3 (((𝐴 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝐴 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))))
523, 51mpcom 38 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2)))))
5352imp 445 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1)(digit‘2)𝐴) = (𝐼(digit‘2)(⌊‘(𝐴 / 2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℝcr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884  +∞cpnf 10016   < clt 10019   ≤ cle 10020   − cmin 10211   / cdiv 10629  ℕcn 10965  2c2 11015  ℕ0cn0 11237  ℤcz 11322  ℤ≥cuz 11631  [,)cico 12116  ⌊cfl 12528   mod cmo 12605  ↑cexp 12797  digitcdig 41655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12120  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-dig 41656 This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  41680
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