MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrelog Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelog 24128
Description: The derivative of the real logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvrelog (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))

Proof of Theorem dvrelog
StepHypRef Expression
1 dfrelog 24061 . . 3 (log ↾ ℝ+) = (exp ↾ ℝ)
21oveq2i 6538 . 2 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (exp ↾ ℝ))
3 reeff1o 23950 . . . . . . . . 9 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
4 f1of 6035 . . . . . . . . 9 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+
6 rpssre 11678 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
7 fss 5955 . . . . . . . 8 (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
85, 6, 7mp2an 704 . . . . . . 7 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
9 ax-resscn 9850 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
10 efcn 23946 . . . . . . . . 9 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
11 rescncf 22456 . . . . . . . . 9 (ℝ ⊆ ℂ → (exp ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
129, 10, 11mp2 9 . . . . . . . 8 (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
13 cncffvrn 22457 . . . . . . . 8 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)) → ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
149, 12, 13mp2an 704 . . . . . . 7 ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
158, 14mpbir 220 . . . . . 6 (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
1615a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
17 reelprrecn 9885 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
18 eff 14600 . . . . . . . . . 10 exp:ℂ⟶ℂ
19 ssid 3587 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
20 dvef 23492 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ D exp) = exp
2120dmeqi 5234 . . . . . . . . . . . 12 dom (ℂ D exp) = dom exp
2218fdmi 5951 . . . . . . . . . . . 12 dom exp = ℂ
2321, 22eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 dom (ℂ D exp) = ℂ
249, 23sseqtr4i 3601 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ dom (ℂ D exp)
25 dvres3 23428 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ exp:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D exp))) → (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ((ℂ D exp) ↾ ℝ))
2617, 18, 19, 24, 25mp4an 705 . . . . . . . . 9 (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ((ℂ D exp) ↾ ℝ)
2720reseq1i 5300 . . . . . . . . 9 ((ℂ D exp) ↾ ℝ) = (exp ↾ ℝ)
2826, 27eqtri 2632 . . . . . . . 8 (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = (exp ↾ ℝ)
2928dmeqi 5234 . . . . . . 7 dom (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = dom (exp ↾ ℝ)
305fdmi 5951 . . . . . . 7 dom (exp ↾ ℝ) = ℝ
3129, 30eqtri 2632 . . . . . 6 dom (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ℝ
3231a1i 11 . . . . 5 (⊤ → dom (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ℝ)
33 0nrp 11700 . . . . . . 7 ¬ 0 ∈ ℝ+
3428rneqi 5260 . . . . . . . . 9 ran (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ran (exp ↾ ℝ)
35 f1ofo 6042 . . . . . . . . . 10 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+)
36 forn 6016 . . . . . . . . . 10 ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+)
373, 35, 36mp2b 10 . . . . . . . . 9 ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
3834, 37eqtri 2632 . . . . . . . 8 ran (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ℝ+
3938eleq2i 2680 . . . . . . 7 (0 ∈ ran (ℝ D (exp ↾ ℝ)) ↔ 0 ∈ ℝ+)
4033, 39mtbir 312 . . . . . 6 ¬ 0 ∈ ran (ℝ D (exp ↾ ℝ))
4140a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D (exp ↾ ℝ)))
423a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+)
4316, 32, 41, 42dvcnvre 23531 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp ↾ ℝ))‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥)))))
4443trud 1484 . . 3 (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp ↾ ℝ))‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥))))
4528fveq1i 6089 . . . . . 6 ((ℝ D (exp ↾ ℝ))‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥)) = ((exp ↾ ℝ)‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥))
46 f1ocnvfv2 6411 . . . . . . 7 (((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → ((exp ↾ ℝ)‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥)) = 𝑥)
473, 46mpan 702 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((exp ↾ ℝ)‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥)) = 𝑥)
4845, 47syl5eq 2656 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ℝ D (exp ↾ ℝ))‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥)) = 𝑥)
4948oveq2d 6543 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / ((ℝ D (exp ↾ ℝ))‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥))) = (1 / 𝑥))
5049mpteq2ia 4663 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp ↾ ℝ))‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
5144, 50eqtri 2632 . 2 (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
522, 51eqtri 2632 1 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 195   = wceq 1475  wtru 1476  wcel 1977  wss 3540  {cpr 4127  cmpt 4638  ccnv 5027  dom cdm 5028  ran crn 5029  cres 5030  wf 5786  ontowfo 5788  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   / cdiv 10536  +crp 11667  expce 14580  cnccncf 22435   D cdv 23378  logclog 24050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-ef 14586  df-sin 14588  df-cos 14589  df-pi 14591  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-cmp 20948  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382  df-log 24052
This theorem is referenced by:  relogcn  24129  advlog  24145  advlogexp  24146  logccv  24154  dvcxp1  24226  loglesqrt  24244  logdivsum  24967  log2sumbnd  24978
  Copyright terms: Public domain W3C validator