MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reeff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reeff1o 23922
Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
reeff1o (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Proof of Theorem reeff1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reeff1 14635 . 2 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
2 f1f 5999 . . . 4 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3 ffn 5944 . . . 4 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
5 frn 5952 . . . . 5 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+)
61, 2, 5mp2b 10 . . . 4 ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+
7 elrp 11666 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ+ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
8 reclt1 10767 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
97, 8sylbi 205 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
10 rpre 11671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
11 rpne0 11680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ≠ 0)
1210, 11rereccld 10701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑧) ∈ ℝ)
13 reeff1olem 23921 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
1412, 13sylan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
15 eqcom 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
16 rpcnne0 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
17 recn 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
18 efcl 14598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
20 efne0 14612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
2219, 21jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0))
23 rec11r 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
2416, 22, 23syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
25 efcan 14611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℂ → ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦)) = 1)
2625eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦)))
27 negcl 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℂ → -𝑦 ∈ ℂ)
28 efcl 14598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-𝑦 ∈ ℂ → (exp‘-𝑦) ∈ ℂ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘-𝑦) ∈ ℂ)
30 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℂ
31 divmul2 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℂ ∧ (exp‘-𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
3230, 31mp3an1 1402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((exp‘-𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
3329, 18, 20, 32syl12anc 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
3426, 33mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦))
3517, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦))
3635eqeq1d 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
3736adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
3824, 37bitrd 266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
3915, 38syl5bbr 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4039biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4140reximdva 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ+ → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4241adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4314, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧)
44 renegcl 10195 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
45 infm3lem 10830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
46 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -𝑦 → (exp‘𝑥) = (exp‘-𝑦))
4746eqeq1d 2611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑦 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4844, 45, 47rexxfr 4809 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧)
4943, 48sylibr 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
5049ex 448 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < (1 / 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
519, 50sylbid 228 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
5251imp 443 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑧 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
53 ef0 14606 . . . . . . . . . . 11 (exp‘0) = 1
5453eqeq2i 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (exp‘0) ↔ 𝑧 = 1)
55 0re 9896 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
56 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 0 → (exp‘𝑥) = (exp‘0))
5756eqeq1d 2611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘0) = 𝑧))
5857rspcev 3281 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘0) = 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
5955, 58mpan 701 . . . . . . . . . . 11 ((exp‘0) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
6059eqcoms 2617 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (exp‘0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
6154, 60sylbir 223 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
6261adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑧 = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
63 reeff1olem 23921 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
6410, 63sylan 486 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
65 1re 9895 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
66 lttri4 9973 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
6710, 65, 66sylancl 692 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
6852, 62, 64, 67mpjao3dan 1386 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
69 fvres 6102 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
7069eqeq1d 2611 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘𝑥) = 𝑧))
7170rexbiia 3021 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
7268, 71sylibr 222 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
73 fvelrnb 6138 . . . . . . 7 ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ → (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧))
744, 73ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
7572, 74sylibr 222 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ))
7675ssriv 3571 . . . 4 + ⊆ ran (exp ↾ ℝ)
776, 76eqssi 3583 . . 3 ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
78 df-fo 5796 . . 3 ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+))
794, 77, 78mpbir2an 956 . 2 (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+
80 df-f1o 5797 . 2 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+))
811, 79, 80mpbir2an 956 1 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3o 1029   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  wss 3539   class class class wbr 4577  ran crn 5029  cres 5030   Fn wfn 5785  wf 5786  1-1wf1 5787  ontowfo 5788  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797   < clt 9930  -cneg 10118   / cdiv 10533  +crp 11664  expce 14577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354
This theorem is referenced by:  reefiso  23923  efcvx  23924  reefgim  23925  eff1olem  24015  dfrelog  24033  relogf1o  24034  dvrelog  24100
  Copyright terms: Public domain W3C validator