MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdivsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivsum 24939
Description: Asymptotic analysis of Σ𝑛𝑥, log𝑛 / 𝑛 = (log𝑥)↑2 / 2 + 𝐿 + 𝑂(log𝑥 / 𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
logdivsum.1 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑖) / 𝑖) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
Assertion
Ref Expression
logdivsum (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ e ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ ((log‘𝐴) / 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑦,𝑖,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑖)   𝐿(𝑦,𝑖)

Proof of Theorem logdivsum
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorp 12078 . . . 4 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2618 . . 3 + = (0(,)+∞)
3 nnuz 11555 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
4 1zzd 11241 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5 ere 14604 . . . 4 e ∈ ℝ
65a1i 11 . . 3 (⊤ → e ∈ ℝ)
7 0re 9896 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
8 epos 14720 . . . . . 6 0 < e
97, 5, 8ltleii 10011 . . . . 5 0 ≤ e
109a1i 11 . . . 4 (⊤ → 0 ≤ e)
11 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
12 addge02 10388 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → (0 ≤ e ↔ 1 ≤ (e + 1)))
1311, 5, 12mp2an 703 . . . 4 (0 ≤ e ↔ 1 ≤ (e + 1))
1410, 13sylib 206 . . 3 (⊤ → 1 ≤ (e + 1))
157a1i 11 . . 3 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
16 relogcl 24043 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
1716adantl 480 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
1817resqcld 12852 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑦)↑2) ∈ ℝ)
1918rehalfcld 11126 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑦)↑2) / 2) ∈ ℝ)
20 rerpdivcl 11693 . . . . 5 (((log‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
2116, 20mpancom 699 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
2221adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
23 nnrp 11674 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
2423, 22sylan2 489 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((log‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
25 reelprrecn 9884 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2625a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
27 cnelprrecn 9885 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2827a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
2917recnd 9924 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
30 ovex 6555 . . . . . 6 (1 / 𝑦) ∈ V
3130a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ V)
32 sqcl 12742 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
3332adantl 480 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
3433halfcld 11124 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) / 2) ∈ ℂ)
35 simpr 475 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
36 dvrelog 24100 . . . . . 6 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦))
37 relogf1o 24034 . . . . . . . . . 10 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
38 f1of 6035 . . . . . . . . . 10 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3937, 38mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊤ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
4039feqmptd 6144 . . . . . . . 8 (⊤ → (log ↾ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)))
41 fvres 6102 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑦) = (log‘𝑦))
4241mpteq2ia 4662 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))
4340, 42syl6eq 2659 . . . . . . 7 (⊤ → (log ↾ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦)))
4443oveq2d 6543 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))))
4536, 44syl5reqr 2658 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦)))
46 ovex 6555 . . . . . . . 8 (2 · 𝑥) ∈ V
4746a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ V)
48 2nn 11032 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
49 dvexp 23439 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
5048, 49mp1i 13 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
51 2m1e1 10982 . . . . . . . . . . . 12 (2 − 1) = 1
5251oveq2i 6538 . . . . . . . . . . 11 (𝑥↑(2 − 1)) = (𝑥↑1)
53 exp1 12683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑1) = 𝑥)
5453adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑1) = 𝑥)
5552, 54syl5eq 2655 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(2 − 1)) = 𝑥)
5655oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) = (2 · 𝑥))
5756mpteq2dva 4666 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑥)))
5850, 57eqtrd 2643 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑥)))
59 2cn 10938 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
6059a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
61 2ne0 10960 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
6261a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ≠ 0)
6328, 33, 47, 58, 60, 62dvmptdivc 23451 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑2) / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · 𝑥) / 2)))
64 divcan3 10560 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
6559, 61, 64mp3an23 1407 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
6665adantl 480 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
6766mpteq2dva 4666 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · 𝑥) / 2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
6863, 67eqtrd 2643 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑2) / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
69 oveq1 6534 . . . . . 6 (𝑥 = (log‘𝑦) → (𝑥↑2) = ((log‘𝑦)↑2))
7069oveq1d 6542 . . . . 5 (𝑥 = (log‘𝑦) → ((𝑥↑2) / 2) = (((log‘𝑦)↑2) / 2))
71 id 22 . . . . 5 (𝑥 = (log‘𝑦) → 𝑥 = (log‘𝑦))
7226, 28, 29, 31, 34, 35, 45, 68, 70, 71dvmptco 23458 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑦)↑2) / 2))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) · (1 / 𝑦))))
73 rpcn 11673 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
7473adantl 480 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
75 rpne0 11680 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ≠ 0)
7675adantl 480 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ≠ 0)
7729, 74, 76divrecd 10653 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑦) / 𝑦) = ((log‘𝑦) · (1 / 𝑦)))
7877mpteq2dva 4666 . . . 4 (⊤ → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) · (1 / 𝑦))))
7972, 78eqtr4d 2646 . . 3 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑦)↑2) / 2))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) / 𝑦)))
80 fveq2 6088 . . . 4 (𝑦 = 𝑖 → (log‘𝑦) = (log‘𝑖))
81 id 22 . . . 4 (𝑦 = 𝑖𝑦 = 𝑖)
8280, 81oveq12d 6545 . . 3 (𝑦 = 𝑖 → ((log‘𝑦) / 𝑦) = ((log‘𝑖) / 𝑖))
83 simp3r 1082 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → 𝑦𝑖)
84 simp2l 1079 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
8584rpred 11704 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → 𝑦 ∈ ℝ)
86 simp3l 1081 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → e ≤ 𝑦)
87 simp2r 1080 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → 𝑖 ∈ ℝ+)
8887rpred 11704 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → 𝑖 ∈ ℝ)
895a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → e ∈ ℝ)
9089, 85, 88, 86, 83letrd 10045 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → e ≤ 𝑖)
91 logdivle 24089 . . . . 5 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑦) ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑖)) → (𝑦𝑖 ↔ ((log‘𝑖) / 𝑖) ≤ ((log‘𝑦) / 𝑦)))
9285, 86, 88, 90, 91syl22anc 1318 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → (𝑦𝑖 ↔ ((log‘𝑖) / 𝑖) ≤ ((log‘𝑦) / 𝑦)))
9383, 92mpbid 220 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → ((log‘𝑖) / 𝑖) ≤ ((log‘𝑦) / 𝑦))
94 logdivsum.1 . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑖) / 𝑖) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
9573cxp1d 24169 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦𝑐1) = 𝑦)
9695oveq2d 6543 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑦) / (𝑦𝑐1)) = ((log‘𝑦) / 𝑦))
9796mpteq2ia 4662 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) / (𝑦𝑐1))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) / 𝑦))
98 1rp 11668 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
99 cxploglim 24421 . . . . 5 (1 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) / (𝑦𝑐1))) ⇝𝑟 0)
10098, 99mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) / (𝑦𝑐1))) ⇝𝑟 0)
10197, 100syl5eqbrr 4613 . . 3 (⊤ → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) / 𝑦)) ⇝𝑟 0)
102 fveq2 6088 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (log‘𝑦) = (log‘𝐴))
103 id 22 . . . 4 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
104102, 103oveq12d 6545 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → ((log‘𝑦) / 𝑦) = ((log‘𝐴) / 𝐴))
1052, 3, 4, 6, 14, 15, 19, 22, 24, 79, 82, 93, 94, 101, 104dvfsumrlim3 23517 . 2 (⊤ → (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ e ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ ((log‘𝐴) / 𝐴))))
106105trud 1483 1 (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ e ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ ((log‘𝐴) / 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  {cpr 4126   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5028  cres 5030  wf 5786  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  +crp 11664  (,)cioo 12002  ...cfz 12152  cfl 12408  cexp 12677  abscabs 13768  𝑟 crli 14010  Σcsu 14210  eceu 14578   D cdv 23350  logclog 24022  𝑐ccxp 24023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-e 14584  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem1  24940  mulog2sum  24943  vmalogdivsum2  24944
  Copyright terms: Public domain W3C validator