Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef4p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef4p 14768
 Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ef4p.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef4p (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef4p
StepHypRef Expression
1 ef4p.1 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
2 df-4 11025 . 2 4 = (3 + 1)
3 3nn0 11254 . 2 3 ∈ ℕ0
4 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 9938 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 addcl 9962 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
75, 6mpan 705 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
8 sqcl 12865 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
98halfcld 11221 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
107, 9addcld 10003 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
11 df-3 11024 . . 3 3 = (2 + 1)
12 2nn0 11253 . . 3 2 ∈ ℕ0
13 df-2 11023 . . . 4 2 = (1 + 1)
14 1nn0 11252 . . . 4 1 ∈ ℕ0
155a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
16 1e0p1 11496 . . . . 5 1 = (0 + 1)
17 0nn0 11251 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
18 0cnd 9977 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
191efval2 14739 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘))
20 nn0uz 11666 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
2120sumeq1i 14362 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)
2219, 21syl6req 2672 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘) = (exp‘𝐴))
2322oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)) = (0 + (exp‘𝐴)))
24 efcl 14738 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2524addid2d 10181 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (exp‘𝐴)) = (exp‘𝐴))
2623, 25eqtr2d 2656 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)))
27 eft0val 14767 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
2827oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
29 0p1e1 11076 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3028, 29syl6eq 2671 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = 1)
311, 16, 17, 4, 18, 26, 30efsep 14765 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑘)))
32 exp1 12806 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
33 fac1 13004 . . . . . . . 8 (!‘1) = 1
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (!‘1) = 1)
3532, 34oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = (𝐴 / 1))
36 div1 10660 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3735, 36eqtrd 2655 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
3837oveq2d 6620 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + ((𝐴↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝐴))
391, 13, 14, 4, 15, 31, 38efsep 14765 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((1 + 𝐴) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)(𝐹𝑘)))
40 fac2 13006 . . . . . 6 (!‘2) = 2
4140oveq2i 6615 . . . . 5 ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
4241oveq2i 6615 . . . 4 ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2))
4342a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
441, 11, 12, 4, 7, 39, 43efsep 14765 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘3)(𝐹𝑘)))
45 fac3 13007 . . . . 5 (!‘3) = 6
4645oveq2i 6615 . . . 4 ((𝐴↑3) / (!‘3)) = ((𝐴↑3) / 6)
4746oveq2i 6615 . . 3 (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6))
4847a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)))
491, 2, 3, 4, 10, 44, 48efsep 14765 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ↦ cmpt 4673  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   / cdiv 10628  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  6c6 11018  ℕ0cn0 11236  ℤ≥cuz 11631  ↑cexp 12800  !cfa 13000  Σcsu 14350  expce 14717 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723 This theorem is referenced by:  efi4p  14792
 Copyright terms: Public domain W3C validator