MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem exp1 12809
Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
exp1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1
StepHypRef Expression
1 1nn 10978 . . . 4 1 ∈ ℕ
2 expnnval 12806 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐴↑1) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
31, 2mpan2 706 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
4 1z 11354 . . . 4 1 ∈ ℤ
5 seq1 12757 . . . 4 (1 ∈ ℤ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
64, 5ax-mp 5 . . 3 (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1)
73, 6syl6eq 2671 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
8 fvconst2g 6424 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
91, 8mpan2 706 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
107, 9eqtrd 2655 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  {csn 4150   × cxp 5074  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  1c1 9884   · cmul 9888  cn 10967  cz 11324  seqcseq 12744  cexp 12803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-seq 12745  df-exp 12804
This theorem is referenced by:  expp1  12810  expn1  12813  expcllem  12814  expeq0  12833  expp1z  12852  expm1  12853  sqval  12865  expnbnd  12936  digit1  12941  exp1d  12946  faclbnd4lem1  13023  climcndslem1  14509  climcndslem2  14510  geoisum1  14538  bpoly1  14710  ef4p  14771  efgt1p2  14772  efgt1p  14773  rpnnen2lem3  14873  modxp1i  15701  numexp1  15708  psgnpmtr  17854  lt6abl  18220  cphipval  22955  iblcnlem1  23467  itgcnlem  23469  dvexp  23629  dveflem  23653  plyid  23876  coeidp  23930  dgrid  23931  cxp1  24324  1cubrlem  24475  1cubr  24476  log2ublem3  24582  basellem5  24718  perfectlem2  24862  logdivsum  25129  log2sumbnd  25140  ipval2  27423  subfacval2  30898  dvasin  33149  areacirclem1  33153  expmordi  37013  1t10e1p1e11  40632  1t10e1p1e11OLD  40633  fmtnoge3  40757  fmtno0  40767  fmtno1  40768  lighneallem2  40838  lighneallem3  40839  41prothprmlem2  40850  perfectALTVlem2  40942  tgblthelfgott  41006  tgblthelfgottOLD  41013  exple2lt6  41449  pw2m1lepw2m1  41614  logbpw2m1  41669  nnpw2pmod  41685
  Copyright terms: Public domain W3C validator