MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem exp1 13436
Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
exp1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1
StepHypRef Expression
1 1nn 11649 . . . 4 1 ∈ ℕ
2 expnnval 13433 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐴↑1) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
31, 2mpan2 689 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1))
4 1z 12013 . . . 4 1 ∈ ℤ
5 seq1 13383 . . . 4 (1 ∈ ℤ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
64, 5ax-mp 5 . . 3 (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1)
73, 6syl6eq 2872 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
8 fvconst2g 6964 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
91, 8mpan2 689 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
107, 9eqtrd 2856 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  {csn 4567   × cxp 5553  cfv 6355  (class class class)co 7156  cc 10535  1c1 10538   · cmul 10542  cn 11638  cz 11982  seqcseq 13370  cexp 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431
This theorem is referenced by:  expp1  13437  expn1  13440  expcllem  13441  expeq0  13460  expp1z  13479  expm1  13480  sqval  13482  exp1d  13506  expmordi  13532  expnbnd  13594  digit1  13599  faclbnd4lem1  13654  climcndslem1  15204  climcndslem2  15205  geoisum1  15235  bpoly1  15405  ef4p  15466  efgt1p2  15467  efgt1p  15468  rpnnen2lem3  15569  modxp1i  16406  numexp1  16413  psgnpmtr  18638  lt6abl  19015  cphipval  23846  iblcnlem1  24388  itgcnlem  24390  dvexp  24550  dveflem  24576  plyid  24799  coeidp  24853  dgrid  24854  cxp1  25254  1cubrlem  25419  1cubr  25420  log2ublem3  25526  basellem5  25662  perfectlem2  25806  logdivsum  26109  log2sumbnd  26120  ipval2  28484  0dp2dp  30585  subfacval2  32434  dvasin  34993  areacirclem1  34997  1t10e1p1e11  43559  fmtnoge3  43741  fmtno0  43751  fmtno1  43752  lighneallem2  43820  lighneallem3  43821  41prothprmlem2  43832  perfectALTVlem2  43936  8exp8mod9  43950  tgblthelfgott  44029  exple2lt6  44461  pw2m1lepw2m1  44624  logbpw2m1  44676  nnpw2pmod  44692
  Copyright terms: Public domain W3C validator