Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eflegeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eflegeo 14795
 Description: The exponential function on the reals between 0 and 1 lies below the comparable geometric series sum. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eflegeo.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eflegeo.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
eflegeo.3 (𝜑𝐴 < 1)
Assertion
Ref Expression
eflegeo (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))

Proof of Theorem eflegeo
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11682 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11349 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 eqid 2621 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
43eftval 14751 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
54adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
6 eflegeo.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
7 reeftcl 14749 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
86, 7sylan 488 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9 oveq2 6623 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
10 eqid 2621 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
11 ovex 6643 . . . . 5 (𝐴𝑘) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6249 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
1312adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
14 reexpcl 12833 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
156, 14sylan 488 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
16 faccl 13026 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
1716adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
1817nnred 10995 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
196adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
20 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21 eflegeo.2 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2221adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
2319, 20, 22expge0d 12982 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
2417nnge1d 11023 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑘))
2515, 18, 23, 24lemulge12d 10922 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴𝑘)))
2617nngt0d 11024 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
27 ledivmul 10859 . . . . 5 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → (((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴𝑘) ↔ (𝐴𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴𝑘))))
2815, 15, 18, 26, 27syl112anc 1327 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴𝑘) ↔ (𝐴𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴𝑘))))
2925, 28mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴𝑘))
306recnd 10028 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
313efcllem 14752 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
3230, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
336, 21absidd 14111 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
34 eflegeo.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 1)
3533, 34eqbrtrd 4645 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
3630, 35, 13geolim 14545 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
37 seqex 12759 . . . . 5 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ V
38 ovex 6643 . . . . 5 (1 / (1 − 𝐴)) ∈ V
3937, 38breldm 5299 . . . 4 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
4036, 39syl 17 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
411, 2, 5, 8, 13, 15, 29, 32, 40isumle 14520 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘))
42 efval 14754 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
4330, 42syl 17 . 2 (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
44 expcl 12834 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4530, 44sylan 488 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
461, 2, 13, 45, 36isumclim 14435 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
4746eqcomd 2627 . 2 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘))
4841, 43, 473brtr4d 4655 1 (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4623   ↦ cmpt 4683  dom cdm 5084  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  ℝcr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034   ≤ cle 10035   − cmin 10226   / cdiv 10644  ℕcn 10980  ℕ0cn0 11252  seqcseq 12757  ↑cexp 12816  !cfa 13016  abscabs 13924   ⇝ cli 14165  Σcsu 14366  expce 14736 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-ico 12139  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742 This theorem is referenced by:  birthdaylem3  24614  logdiflbnd  24655  emcllem2  24657
 Copyright terms: Public domain W3C validator