Theorem absidd 14782

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 14656	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  ℝcr 10536  0cc0 10537   ≤ cle 10676  abscabs 14593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595

This theorem is referenced by:  rlimno1  15010  iseralt  15041  cvgcmpce  15173  divrcnv  15207  geomulcvg  15232  cvgrat  15239  mertenslem2  15241  eftabs  15429  efcllem  15431  efaddlem  15446  eftlub  15462  eflegeo  15474  ef01bndlem  15537  absef  15550  efieq1re  15552  dvdseq  15664  divalg2  15756  nn0gcdid0  15869  absmulgcd  15897  gcdmultipleOLD  15900  gcdmultiplezOLD  15901  lcmgcdlem  15950  mulgcddvds  15999  phibndlem  16107  dfphi2  16111  mul4sqlem  16289  4sqlem11  16291  prmirredlem  20640  prmirred  20642  blcvx  23406  reperflem  23426  reconnlem2  23435  nmoleub2lem3  23719  nmoleub3  23723  tcphcphlem1  23838  iscmet3lem3  23893  pjthlem1  24040  lhop1lem  24610  ftc1lem4  24636  plyeq0lem  24800  aalioulem4  24924  mtest  24992  radcnvlem1  25001  radcnvlt1  25006  radcnvle  25008  dvradcnv  25009  pserdvlem2  25016  abelth2  25030  tanabsge  25092  sineq0  25109  divlogrlim  25218  logcnlem3  25227  logcnlem4  25228  logtayllem  25242  logtayl  25243  abscxp2  25276  logbgcd1irr  25372  chordthmlem4  25413  rlimcnp  25543  lgamgulmlem2  25607  lgamgulmlem5  25610  lgamcvg2  25632  ftalem5  25654  lgsval2lem  25883  lgsval4a  25895  2sqlem3  25996  chebbnd1  26048  chtppilimlem2  26050  chto1ub  26052  vmadivsum  26058  vmadivsumb  26059  rpvmasumlem  26063  dchrisumlem2  26066  dchrisumlem3  26067  dchrvmasumlem2  26074  dchrvmasumiflem1  26077  dchrisum0fno1  26087  dchrisum0re  26089  rplogsum  26103  mulog2sumlem1  26110  mulog2sumlem2  26111  2vmadivsumlem  26116  selbergb  26125  selberg2lem  26126  selberg2b  26128  selberg3lem1  26133  selberg3lem2  26134  selberg4lem1  26136  pntrsumo1  26141  pntrlog2bndlem1  26153  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bndlem3  26155  pntrlog2bndlem5  26157  pntrlog2bndlem6  26159  pntrlog2bnd  26160  pntpbnd1a  26161  pntpbnd1  26162  pntibndlem2  26167  ostth2  26213  htthlem  28694  bcsiALT  28956  norm1  29026  pjhthlem1  29168  nmbdoplbi  29801  nmcexi  29803  nmcopexi  29804  nmcoplbi  29805  nmbdfnlbi  29826  nmcfnexi  29828  nmcfnlbi  29829  cnlnadjlem7  29850  nmopcoi  29872  nmopcoadji  29878  branmfn  29882  strlem1  30027  subfaclim  32435  dnizphlfeqhlf  33815  dnibndlem6  33822  dnibndlem9  33825  knoppndvlem11  33861  knoppndvlem14  33864  poimirlem29  34936  ftc1cnnclem  34980  ftc1anclem5  34986  lmclim2  35048  geomcau  35049  cntotbnd  35089  nn0rppwr  39202  nn0expgcd  39204  irrapxlem2  39440  irrapxlem5  39443  pellexlem2  39447  oddcomabszz  39561  jm2.19  39610  jm2.26lem3  39618  absmulrposd  40529  nzprmdif  40671  0ellimcdiv  41950  stoweidlem7  42312  fourierdlem30  42442  fourierdlem39  42451  etransclem23  42562  etransclem41  42580  hoiqssbllem2  42925  blenre  44654  blennn  44655