MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absidd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absidd 14205
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
absidd (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd
StepHypRef Expression
1 resqrcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 resqrcld.2 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3 absid 14080 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  cr 9973  0cc0 9974  cle 10113  abscabs 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020
This theorem is referenced by:  rlimno1  14428  iseralt  14459  cvgcmpce  14594  divrcnv  14628  geomulcvg  14651  cvgrat  14659  mertenslem2  14661  eftabs  14850  efcllem  14852  efaddlem  14867  eftlub  14883  eflegeo  14895  ef01bndlem  14958  absef  14971  efieq1re  14973  dvdseq  15083  divalg2  15175  nn0gcdid0  15289  absmulgcd  15313  gcdmultiple  15316  gcdmultiplez  15317  lcmgcdlem  15366  mulgcddvds  15416  phibndlem  15522  dfphi2  15526  mul4sqlem  15704  4sqlem11  15706  prmirredlem  19889  prmirred  19891  blcvx  22648  reperflem  22668  reconnlem2  22677  nmoleub2lem3  22961  nmoleub3  22965  tchcphlem1  23080  iscmet3lem3  23134  pjthlem1  23254  lhop1lem  23821  ftc1lem4  23847  plyeq0lem  24011  aalioulem4  24135  mtest  24203  radcnvlem1  24212  radcnvlt1  24217  radcnvle  24219  dvradcnv  24220  pserdvlem2  24227  abelth2  24241  tanabsge  24303  sineq0  24318  divlogrlim  24426  logcnlem3  24435  logcnlem4  24436  logtayllem  24450  logtayl  24451  abscxp2  24484  chordthmlem4  24607  rlimcnp  24737  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem5  24804  lgamcvg2  24826  ftalem5  24848  lgsval2lem  25077  lgsval4a  25089  2sqlem3  25190  chebbnd1  25206  chtppilimlem2  25208  chto1ub  25210  vmadivsum  25216  vmadivsumb  25217  rpvmasumlem  25221  dchrisumlem2  25224  dchrisumlem3  25225  dchrvmasumlem2  25232  dchrvmasumiflem1  25235  dchrisum0fno1  25245  dchrisum0re  25247  rplogsum  25261  mulog2sumlem1  25268  mulog2sumlem2  25269  2vmadivsumlem  25274  selbergb  25283  selberg2lem  25284  selberg2b  25286  selberg3lem1  25291  selberg3lem2  25292  selberg4lem1  25294  pntrsumo1  25299  pntrlog2bndlem1  25311  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem3  25313  pntrlog2bndlem5  25315  pntrlog2bndlem6  25317  pntrlog2bnd  25318  pntpbnd1a  25319  pntpbnd1  25320  pntibndlem2  25325  ostth2  25371  htthlem  27902  bcsiALT  28164  norm1  28234  pjhthlem1  28378  nmbdoplbi  29011  nmcexi  29013  nmcopexi  29014  nmcoplbi  29015  nmbdfnlbi  29036  nmcfnexi  29038  nmcfnlbi  29039  cnlnadjlem7  29060  nmopcoi  29082  nmopcoadji  29088  branmfn  29092  strlem1  29237  subfaclim  31296  dnizphlfeqhlf  32591  dnibndlem6  32598  dnibndlem9  32601  knoppndvlem11  32638  knoppndvlem14  32641  poimirlem29  33568  ftc1cnnclem  33613  ftc1anclem5  33619  lmclim2  33684  geomcau  33685  cntotbnd  33725  irrapxlem2  37704  irrapxlem5  37707  pellexlem2  37711  oddcomabszz  37826  jm2.19  37877  jm2.26lem3  37885  absmulrposd  38774  nzprmdif  38835  0ellimcdiv  40199  stoweidlem7  40542  fourierdlem30  40672  fourierdlem39  40681  etransclem23  40792  etransclem41  40810  hoiqssbllem2  41158  blenre  42693  blennn  42694
  Copyright terms: Public domain W3C validator