MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absidd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absidd 13955
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
absidd (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd
StepHypRef Expression
1 resqrcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 resqrcld.2 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3 absid 13830 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  cr 9791  0cc0 9792  cle 9931  abscabs 13768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770
This theorem is referenced by:  rlimno1  14178  iseralt  14209  cvgcmpce  14337  divrcnv  14369  geomulcvg  14392  cvgrat  14400  mertenslem2  14402  eftabs  14591  efcllem  14593  efaddlem  14608  eftlub  14624  eflegeo  14636  ef01bndlem  14699  absef  14712  efieq1re  14714  dvdseq  14820  divalg2  14912  nn0gcdid0  15026  absmulgcd  15050  gcdmultiple  15053  gcdmultiplez  15054  lcmgcdlem  15103  mulgcddvds  15153  phibndlem  15259  dfphi2  15263  mul4sqlem  15441  4sqlem11  15443  prmirredlem  19605  prmirred  19607  blcvx  22341  reperflem  22361  reconnlem2  22370  nmoleub2lem3  22654  nmoleub3  22658  tchcphlem1  22763  iscmet3lem3  22814  pjthlem1  22933  lhop1lem  23497  ftc1lem4  23523  plyeq0lem  23687  aalioulem4  23811  mtest  23879  radcnvlem1  23888  radcnvlt1  23893  radcnvle  23895  dvradcnv  23896  pserdvlem2  23903  abelth2  23917  tanabsge  23979  sineq0  23994  divlogrlim  24098  logcnlem3  24107  logcnlem4  24108  logtayllem  24122  logtayl  24123  abscxp2  24156  chordthmlem4  24279  rlimcnp  24409  lgamgulmlem2  24473  lgamgulmlem5  24476  lgamcvg2  24498  ftalem5  24520  lgsval2lem  24749  lgsval4a  24761  2sqlem3  24862  chebbnd1  24878  chtppilimlem2  24880  chto1ub  24882  vmadivsum  24888  vmadivsumb  24889  rpvmasumlem  24893  dchrisumlem2  24896  dchrisumlem3  24897  dchrvmasumlem2  24904  dchrvmasumiflem1  24907  dchrisum0fno1  24917  dchrisum0re  24919  rplogsum  24933  mulog2sumlem1  24940  mulog2sumlem2  24941  2vmadivsumlem  24946  selbergb  24955  selberg2lem  24956  selberg2b  24958  selberg3lem1  24963  selberg3lem2  24964  selberg4lem1  24966  pntrsumo1  24971  pntrlog2bndlem1  24983  pntrlog2bndlem2  24984  pntrlog2bndlem3  24985  pntrlog2bndlem5  24987  pntrlog2bndlem6  24989  pntrlog2bnd  24990  pntpbnd1a  24991  pntpbnd1  24992  pntibndlem2  24997  ostth2  25043  htthlem  26964  bcsiALT  27226  norm1  27296  pjhthlem1  27440  nmbdoplbi  28073  nmcexi  28075  nmcopexi  28076  nmcoplbi  28077  nmbdfnlbi  28098  nmcfnexi  28100  nmcfnlbi  28101  cnlnadjlem7  28122  nmopcoi  28144  nmopcoadji  28150  branmfn  28154  strlem1  28299  subfaclim  30230  dnizphlfeqhlf  31442  dnibndlem6  31449  dnibndlem9  31452  knoppndvlem11  31489  knoppndvlem14  31492  poimirlem29  32404  ftc1cnnclem  32449  ftc1anclem5  32455  lmclim2  32520  geomcau  32521  cntotbnd  32561  irrapxlem2  36201  irrapxlem5  36204  pellexlem2  36208  oddcomabszz  36323  jm2.19  36374  jm2.26lem3  36382  absmulrposd  37273  nzprmdif  37336  0ellimcdiv  38513  stoweidlem7  38697  fourierdlem30  38827  fourierdlem39  38836  etransclem23  38947  etransclem41  38965  hoiqssbllem2  39310  blenre  42161  blennn  42162
  Copyright terms: Public domain W3C validator