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Theorem bcm1k 13316
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝐾 decreased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcm1k (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Proof of Theorem bcm1k
StepHypRef Expression
1 elfzuz2 12559 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
2 nnuz 11936 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2syl6eleqr 2850 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11563 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5 faccl 13284 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
76nncnd 11248 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
8 fznn0sub 12586 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
9 nn0p1nn 11544 . . . . . . 7 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
1110nncnd 11248 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℂ)
1210nnnn0d 11563 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ0)
13 faccl 13284 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) ∈ ℕ)
15 elfznn 12583 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
16 nnm1nn0 11546 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
17 faccl 13284 . . . . . . . 8 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
1914, 18nnmulcld 11280 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ)
20 nncn 11240 . . . . . . 7 (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ → ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ)
21 nnne0 11265 . . . . . . 7 (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ → ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0)
2220, 21jca 555 . . . . . 6 (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℕ → (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ ∧ ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0))
2319, 22syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ ∧ ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0))
2415nncnd 11248 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
2515nnne0d 11277 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
2624, 25jca 555 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))
27 divmuldiv 10937 . . . . 5 ((((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ∈ ℂ ∧ ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) ≠ 0) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
287, 11, 23, 26, 27syl22anc 1478 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
29 elfzel2 12553 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3029zcnd 11695 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
31 1cnd 10268 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
3230, 24, 31subsubd 10632 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 1)) = ((𝑁𝐾) + 1))
3332fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) = (!‘((𝑁𝐾) + 1)))
3433oveq1d 6829 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1))) = ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))))
3534oveq2d 6830 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))))
3632oveq1d 6829 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) = (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾))
3735, 36oveq12d 6832 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1)))) · (((𝑁𝐾) + 1) / 𝐾)))
38 facp1 13279 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
398, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)))
4039eqcomd 2766 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (!‘((𝑁𝐾) + 1)))
41 facnn2 13283 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
4215, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) = ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾))
4340, 42oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)) = ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
44 faccl 13284 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
458, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
4645nncnd 11248 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
4715nnnn0d 11563 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
48 faccl 13284 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
5049nncnd 11248 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
5146, 50, 11mul32d 10458 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((!‘(𝑁𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘𝐾)))
5214nncnd 11248 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘((𝑁𝐾) + 1)) ∈ ℂ)
5318nncnd 11248 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (!‘(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
5452, 53, 24mulassd 10275 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾) = ((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · ((!‘(𝐾 − 1)) · 𝐾)))
5543, 51, 543eqtr4d 2804 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾))
5655oveq2d 6830 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘((𝑁𝐾) + 1)) · (!‘(𝐾 − 1))) · 𝐾)))
5728, 37, 563eqtr4d 2804 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1))))
587, 11mulcomd 10273 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((𝑁𝐾) + 1) · (!‘𝑁)))
5945, 49nnmulcld 11280 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
6059nncnd 11248 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
6160, 11mulcomd 10273 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1)) = (((𝑁𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
6258, 61oveq12d 6832 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((!‘𝑁) · ((𝑁𝐾) + 1)) / (((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) · ((𝑁𝐾) + 1))) = ((((𝑁𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
6359nnne0d 11277 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ≠ 0)
6410nnne0d 11277 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ≠ 0)
657, 60, 11, 63, 64divcan5d 11039 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((((𝑁𝐾) + 1) · (!‘𝑁)) / (((𝑁𝐾) + 1) · ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
6657, 62, 653eqtrrd 2799 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
67 fz1ssfz0 12649 . . . 4 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
6867sseli 3740 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
69 bcval2 13306 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
7068, 69syl 17 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
71 ax-1cn 10206 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
72 npcan 10502 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7330, 71, 72sylancl 697 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
74 peano2zm 11632 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
75 uzid 11914 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
76 peano2uz 11954 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
7729, 74, 75, 764syl 19 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
7873, 77eqeltrrd 2840 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
79 fzss2 12594 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
8078, 79syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
81 elfzmlbm 12663 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
8280, 81sseldd 3745 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
83 bcval2 13306 . . . 4 ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
8482, 83syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))))
8584oveq1d 6829 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝐾 − 1))) · (!‘(𝐾 − 1)))) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
8666, 70, 853eqtr4d 2804 1 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wss 3715  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  ...cfz 12539  !cfa 13274  Ccbc 13303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-seq 13016  df-fac 13275  df-bc 13304
This theorem is referenced by:  bcp1nk  13318  bcpasc  13322  bpolydiflem  15004  basellem5  25031
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