Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem114 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem114 40857
Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem114.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem114.t 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem114.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem114.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourierdlem114.dmdv (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourierdlem114.gcn (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
fourierdlem114.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem114.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem114.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem114.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem114.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem114.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem114.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem114.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
fourierdlem114.p 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem114.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem114.h 𝐻 = ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
fourierdlem114.m 𝑀 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem114.q 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem114 (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑥,𝐸   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝐺,𝑥   𝑔,𝐻   𝑖,𝐿,𝑛   𝑔,𝑀   𝑖,𝑀,𝑛,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑔   𝑄,𝑖,𝑛,𝑝   𝑥,𝑄   𝑅,𝑖,𝑛   𝑇,𝑖,𝑛,𝑝   𝑥,𝑇   𝑖,𝑋,𝑛,𝑝   𝑥,𝑋   𝜑,𝑔   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑥,𝑔,𝑖,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑔,𝑖,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑅(𝑥,𝑔,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝑇(𝑔)   𝐸(𝑔,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑔,𝑝)   𝐺(𝑔,𝑛,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑔,𝑝)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem fourierdlem114
StepHypRef Expression
1 fourierdlem114.f . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fourierdlem114.t . 2 𝑇 = (2 · π)
3 fourierdlem114.per . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fourierdlem114.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5 fourierdlem114.l . 2 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
6 fourierdlem114.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
7 fourierdlem114.p . 2 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
8 fourierdlem114.m . . 3 𝑀 = ((♯‘𝐻) − 1)
9 2z 11522 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
11 fourierdlem114.h . . . . . . . 8 𝐻 = ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
12 tpfi 8352 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin)
14 pire 24330 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ
1514renegcli 10455 . . . . . . . . . . . . . 14 -π ∈ ℝ
1615rexri 10210 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℝ*
1714rexri 10210 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ*
18 negpilt0 39908 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π < 0
19 pipos 24332 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < π
20 0re 10153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
2115, 20, 14lttri 10276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
2218, 19, 21mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 -π < π
2315, 14, 22ltleii 10273 . . . . . . . . . . . . 13 -π ≤ π
24 prunioo 12415 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → ((-π(,)π) ∪ {-π, π}) = (-π[,]π))
2516, 17, 23, 24mp3an 1537 . . . . . . . . . . . 12 ((-π(,)π) ∪ {-π, π}) = (-π[,]π)
2625difeq1i 3832 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)π) ∪ {-π, π}) ∖ dom 𝐺) = ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)
27 difundir 3988 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)π) ∪ {-π, π}) ∖ dom 𝐺) = (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺))
2826, 27eqtr3i 2748 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) = (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺))
29 fourierdlem114.dmdv . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
30 prfi 8351 . . . . . . . . . . . 12 {-π, π} ∈ Fin
31 diffi 8308 . . . . . . . . . . . 12 ({-π, π} ∈ Fin → ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
33 unfi 8343 . . . . . . . . . . 11 ((((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin ∧ ({-π, π} ∖ dom 𝐺) ∈ Fin) → (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3429, 32, 33syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∪ ({-π, π} ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3528, 34syl5eqel 2807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
36 unfi 8343 . . . . . . . . 9 (({-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ Fin ∧ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin) → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3713, 35, 36syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ Fin)
3811, 37syl5eqel 2807 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
39 hashcl 13260 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
4140nn0zd 11593 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
4215, 22ltneii 10263 . . . . . . 7 -π ≠ π
43 hashprg 13295 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π ≠ π ↔ (♯‘{-π, π}) = 2))
4415, 14, 43mp2an 710 . . . . . . 7 (-π ≠ π ↔ (♯‘{-π, π}) = 2)
4542, 44mpbi 220 . . . . . 6 (♯‘{-π, π}) = 2
4612elexi 3317 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ∈ V
47 ovex 6793 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]π) ∈ V
48 difexg 4916 . . . . . . . . . . 11 ((-π[,]π) ∈ V → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ V)
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ∈ V
5046, 49unex 7073 . . . . . . . . 9 ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ∈ V
5111, 50eqeltri 2799 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
52 negex 10392 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ V
5352tpid1 4410 . . . . . . . . . 10 -π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}
5414elexi 3317 . . . . . . . . . . 11 π ∈ V
5554tpid2 4411 . . . . . . . . . 10 π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}
56 prssi 4461 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)} ∧ π ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}) → {-π, π} ⊆ {-π, π, (𝐸𝑋)})
5753, 55, 56mp2an 710 . . . . . . . . 9 {-π, π} ⊆ {-π, π, (𝐸𝑋)}
58 ssun1 3884 . . . . . . . . . 10 {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺))
5958, 11sseqtr4i 3744 . . . . . . . . 9 {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ 𝐻
6057, 59sstri 3718 . . . . . . . 8 {-π, π} ⊆ 𝐻
61 hashss 13310 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ V ∧ {-π, π} ⊆ 𝐻) → (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻))
6251, 60, 61mp2an 710 . . . . . . 7 (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻)
6362a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{-π, π}) ≤ (♯‘𝐻))
6445, 63syl5eqbrr 4796 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐻))
65 eluz2 11806 . . . . 5 ((♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (♯‘𝐻)))
6610, 41, 64, 65syl3anbrc 1383 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2))
67 uz2m1nn 11877 . . . 4 ((♯‘𝐻) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ)
6866, 67syl 17 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ)
698, 68syl5eqel 2807 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
7015a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
7114a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → π ∈ ℝ)
72 negpitopissre 24406 . . . . . . . . . . . 12 (-π(,]π) ⊆ ℝ
7322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -π < π)
74 picn 24331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℂ
75742timesi 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · π) = (π + π)
7674, 74subnegi 10473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π − -π) = (π + π)
7775, 2, 763eqtr4i 2756 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (π − -π)
78 fourierdlem114.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
7970, 71, 73, 77, 78fourierdlem4 40748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸:ℝ⟶(-π(,]π))
8079, 4ffvelrnd 6475 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (-π(,]π))
8172, 80sseldi 3707 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
8270, 71, 813jca 1379 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ))
83 fvex 6314 . . . . . . . . . . 11 (𝐸𝑋) ∈ V
8452, 54, 83tpss 4476 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ) ↔ {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ℝ)
8582, 84sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ ℝ)
86 iccssre 12369 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
8715, 14, 86mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (-π[,]π) ⊆ ℝ
88 ssdifss 3849 . . . . . . . . . 10 ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
8987, 88mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
9085, 89unssd 3897 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ⊆ ℝ)
9111, 90syl5eqss 3755 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
92 fourierdlem114.q . . . . . . 7 𝑄 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
9338, 91, 92, 8fourierdlem36 40780 . . . . . 6 (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
94 isof1o 6688 . . . . . 6 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) → 𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻)
95 f1of 6250 . . . . . 6 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
9693, 94, 953syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
9796, 91fssd 6170 . . . 4 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
98 reex 10140 . . . . 5 ℝ ∈ V
99 ovex 6793 . . . . 5 (0...𝑀) ∈ V
10098, 99elmap 8003 . . . 4 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ↔ 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
10197, 100sylibr 224 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
102 fveq2 6304 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝑖 → (𝑄‘0) = (𝑄𝑖))
103102adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) = (𝑄𝑖))
10497ffvelrnda 6474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
105104leidd 10707 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
106105adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
107103, 106eqbrtrd 4782 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
108 elfzelz 12456 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
109108zred 11595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
110109ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
111 elfzle1 12458 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑖)
112111ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 0 ≤ 𝑖)
113 neqne 2904 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 0 = 𝑖 → 0 ≠ 𝑖)
114113necomd 2951 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 0 = 𝑖𝑖 ≠ 0)
115114adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 𝑖 ≠ 0)
116110, 112, 115ne0gt0d 10287 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → 0 < 𝑖)
117 nnssnn0 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ ⊆ ℕ0
118 nn0uz 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (ℤ‘0)
119117, 118sseqtri 3743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ⊆ (ℤ‘0)
120119, 69sseldi 3707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
121 eluzfz1 12462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
12396, 122ffvelrnd 6475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ 𝐻)
12491, 123sseldd 3710 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
125124ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
126104adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
127 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → 0 < 𝑖)
12893ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
129122anim1i 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
130129adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)))
131 isorel 6691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀))) → (0 < 𝑖 ↔ (𝑄‘0) < (𝑄𝑖)))
132128, 130, 131syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (0 < 𝑖 ↔ (𝑄‘0) < (𝑄𝑖)))
133127, 132mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) < (𝑄𝑖))
134125, 126, 133ltled 10298 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 0 < 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
135116, 134syldan 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 0 = 𝑖) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
136107, 135pm2.61dan 867 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
137136adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ≤ (𝑄𝑖))
138 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄𝑖) = -π)
139137, 138breqtrd 4786 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ≤ -π)
14070rexrd 10202 . . . . . . . 8 (𝜑 → -π ∈ ℝ*)
14171rexrd 10202 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ ℝ*)
142 lbicc2 12402 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → -π ∈ (-π[,]π))
14316, 17, 23, 142mp3an 1537 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ (-π[,]π)
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -π ∈ (-π[,]π))
145 ubicc2 12403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ π) → π ∈ (-π[,]π))
14616, 17, 23, 145mp3an 1537 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ (-π[,]π)
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ (-π[,]π))
148 iocssicc 12375 . . . . . . . . . . . . 13 (-π(,]π) ⊆ (-π[,]π)
149148, 80sseldi 3707 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (-π[,]π))
150 tpssi 4477 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ (-π[,]π) ∧ π ∈ (-π[,]π) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (-π[,]π)) → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ (-π[,]π))
151144, 147, 149, 150syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {-π, π, (𝐸𝑋)} ⊆ (-π[,]π))
152 difssd 3846 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺) ⊆ (-π[,]π))
153151, 152unssd 3897 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)) ⊆ (-π[,]π))
15411, 153syl5eqss 3755 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ⊆ (-π[,]π))
155154, 123sseldd 3710 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ (-π[,]π))
156 iccgelb 12344 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘0) ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ (𝑄‘0))
157140, 141, 155, 156syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝜑 → -π ≤ (𝑄‘0))
158157ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → -π ≤ (𝑄‘0))
159124ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
16015a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → -π ∈ ℝ)
161159, 160letri3d 10292 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → ((𝑄‘0) = -π ↔ ((𝑄‘0) ≤ -π ∧ -π ≤ (𝑄‘0))))
162139, 158, 161mpbir2and 995 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑖) = -π) → (𝑄‘0) = -π)
16359, 53sselii 3706 . . . . . . 7 -π ∈ 𝐻
164 f1ofo 6257 . . . . . . . . 9 (𝑄:(0...𝑀)–1-1-onto𝐻𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻)
16594, 164syl 17 . . . . . . . 8 (𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) → 𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻)
166 forn 6231 . . . . . . . 8 (𝑄:(0...𝑀)–onto𝐻 → ran 𝑄 = 𝐻)
16793, 165, 1663syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
168163, 167syl5eleqr 2810 . . . . . 6 (𝜑 → -π ∈ ran 𝑄)
169 ffn 6158 . . . . . . 7 (𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻𝑄 Fn (0...𝑀))
170 fvelrnb 6357 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (-π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π))
17196, 169, 1703syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (-π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π))
172168, 171mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = -π)
173162, 172r19.29a 3180 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
17459, 55sselii 3706 . . . . . . 7 π ∈ 𝐻
175174, 167syl5eleqr 2810 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ran 𝑄)
176 fvelrnb 6357 . . . . . . 7 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π))
17796, 169, 1763syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (π ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π))
178175, 177mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π)
17996, 154fssd 6170 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
180 eluzfz2 12463 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
181120, 180syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
182179, 181ffvelrnd 6475 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ (-π[,]π))
183 iccleub 12343 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑀) ∈ (-π[,]π)) → (𝑄𝑀) ≤ π)
184140, 141, 182, 183syl3anc 1439 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝑀) ≤ π)
1851843ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) ≤ π)
186 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖) = π → (𝑄𝑖) = π)
187186eqcomd 2730 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖) = π → π = (𝑄𝑖))
1881873ad2ant3 1127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π = (𝑄𝑖))
189105adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑖))
190 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑀 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
191190adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
192189, 191breqtrd 4786 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
193109ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
194 elfzel2 12454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
195194zred 11595 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
196195ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
197 elfzle2 12459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) → 𝑖𝑀)
198197ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖𝑀)
199 neqne 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 = 𝑀𝑖𝑀)
200199necomd 2951 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 = 𝑀𝑀𝑖)
201200adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑀𝑖)
202193, 196, 198, 201leneltd 10304 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → 𝑖 < 𝑀)
203104adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
20487, 182sseldi 3707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
205204ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
206 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑖 < 𝑀)
20793ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
208 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
209181adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
210208, 209jca 555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
211210adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀)))
212 isorel 6691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑀))) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀)))
213207, 211, 212syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀)))
214206, 213mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) < (𝑄𝑀))
215203, 205, 214ltled 10298 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
216202, 215syldan 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
217192, 216pm2.61dan 867 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
2182173adant3 1124 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄𝑀))
219188, 218eqbrtrd 4782 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π ≤ (𝑄𝑀))
2202043ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
22114a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → π ∈ ℝ)
222220, 221letri3d 10292 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → ((𝑄𝑀) = π ↔ ((𝑄𝑀) ≤ π ∧ π ≤ (𝑄𝑀))))
223185, 219, 222mpbir2and 995 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑄𝑖) = π) → (𝑄𝑀) = π)
224223rexlimdv3a 3135 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑖) = π → (𝑄𝑀) = π))
225178, 224mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑀) = π)
226 elfzoelz 12585 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
227226zred 11595 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
228227ltp1d 11067 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
229228adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
230 elfzofz 12600 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
231 fzofzp1 12680 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
232230, 231jca 555 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
233 isorel 6691 . . . . . . 7 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
23493, 232, 233syl2an 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
235229, 234mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
236235ralrimiva 3068 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
237173, 225, 236jca31 558 . . 3 (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2387fourierdlem2 40746 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
23969, 238syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
240101, 237, 239mpbir2and 995 . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
241 fourierdlem114.g . . . . 5 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
242241reseq1i 5499 . . . 4 (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
24316a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
24417a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
245179adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
246 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
247243, 244, 245, 246fourierdlem27 40771 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
248247resabs1d 5538 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
249242, 248syl5req 2771 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
250 fourierdlem114.gcn . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
251250, 7, 69, 240, 11, 167fourierdlem38 40782 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
252249, 251eqeltrd 2803 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
253249oveq1d 6780 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
254250adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
255 fourierdlem114.rlim . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
256255adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
257 fourierdlem114.llim . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
258257adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
25993adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
260259, 94, 953syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
26181adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
262259, 165, 1663syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ran 𝑄 = 𝐻)
263254, 256, 258, 259, 260, 246, 235, 247, 261, 11, 262fourierdlem46 40789 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅ ∧ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅))
264263simpld 477 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
265253, 264eqnetrd 2963 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
266249oveq1d 6780 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
267263simprd 482 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
268266, 267eqnetrd 2963 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
269 fourierdlem114.a . 2 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
270 fourierdlem114.b . 2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
271 fourierdlem114.s . 2 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
27283tpid3 4413 . . . . 5 (𝐸𝑋) ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)}
273 elun1 3888 . . . . 5 ((𝐸𝑋) ∈ {-π, π, (𝐸𝑋)} → (𝐸𝑋) ∈ ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))
274272, 273mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ({-π, π, (𝐸𝑋)} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐺)))
275274, 11syl6eleqr 2814 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ 𝐻)
276275, 167eleqtrrd 2806 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
2771, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 69, 240, 252, 265, 268, 269, 270, 271, 78, 276fourierdlem113 40856 1 (𝜑 → (seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝐿 + 𝑅) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  wrex 3015  {crab 3018  Vcvv 3304  cdif 3677  cun 3678  wss 3680  c0 4023  {cpr 4287  {ctp 4289   class class class wbr 4760  cmpt 4837  dom cdm 5218  ran crn 5219  cres 5220  cio 5962   Fn wfn 5996  wf 5997  ontowfo 5999  1-1-ontowf1o 6000  cfv 6001   Isom wiso 6002  (class class class)co 6765  𝑚 cmap 7974  Fincfn 8072  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  +∞cpnf 10184  -∞cmnf 10185  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379  -cneg 10380   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  cz 11490  cuz 11800  (,)cioo 12289  (,]cioc 12290  [,)cico 12291  [,]cicc 12292  ...cfz 12440  ..^cfzo 12580  cfl 12706  seqcseq 12916  chash 13232  cli 14335  Σcsu 14536  sincsin 14914  cosccos 14915  πcpi 14917  cnccncf 22801  citg 23507   lim climc 23746   D cdv 23747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cc 9370  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-disj 4729  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-ofr 7015  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-t1 21241  df-haus 21242  df-cmp 21313  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-ovol 23354  df-vol 23355  df-mbf 23508  df-itg1 23509  df-itg2 23510  df-ibl 23511  df-itg 23512  df-0p 23557  df-ditg 23731  df-limc 23750  df-dv 23751
This theorem is referenced by:  fourierdlem115  40858
  Copyright terms: Public domain W3C validator