MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem2 25006
Description: Lemma for lgsqr 25010. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem2 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   (𝑦)   𝐺(𝑦)   (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem2
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21eldifad 3572 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 lgsqr.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
43znfld 19849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ Field)
6 fldidom 19245 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
8 isidom 19244 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
98simplbi 476 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
11 crngring 18498 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
13 lgsqr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
1413zrhrhm 19800 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16 zringbas 19764 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
17 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1816, 17rhmf 18666 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
1915, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2019adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
21 elfzelz 12300 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2221adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23 zsqcl 12890 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
2520, 24ffvelrnd 6326 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌))
26 lgsqr.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑌)
27 lgsqr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
28 lgsqr.d . . . . 5 𝐷 = ( deg1𝑌)
29 lgsqr.o . . . . 5 𝑂 = (eval1𝑌)
30 lgsqr.e . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
31 lgsqr.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑌)
32 lgsqr.m . . . . 5 = (-g𝑆)
33 lgsqr.u . . . . 5 1 = (1r𝑆)
34 lgsqr.t . . . . 5 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
351adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
36 elfznn 12328 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℕ)
3736adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℕ)
3837nncnd 10996 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
39 oddprm 15458 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
401, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4140nnnn0d 11311 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4241adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
43 2nn0 11269 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℕ0)
4538, 42, 44expmuld 12967 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑(2 · ((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)))
46 prmnn 15331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
472, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4847nnred 10995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
49 peano2rem 10308 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
5150recnd 10028 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
52 2cnd 11053 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53 2ne0 11073 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
5551, 52, 54divcan2d 10763 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
56 phiprm 15425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
572, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
5855, 57eqtr4d 2658 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (ϕ‘𝑃))
5958adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (ϕ‘𝑃))
6059oveq2d 6631 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦↑(2 · ((𝑃 − 1) / 2))) = (𝑦↑(ϕ‘𝑃)))
6145, 60eqtr3d 2657 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑦↑(ϕ‘𝑃)))
6261oveq1d 6630 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃))
632adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
6463, 46syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
6547nnzd 11441 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6665adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
67 gcdcom 15178 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑦 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝑦))
6822, 66, 67syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝑦))
6937nnred 10995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
7050rehalfcld 11239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
7248adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ)
73 elfzle2 12303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
7473adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
75 prmuz2 15351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
762, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
77 uz2m1nn 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
7978nnrpd 11830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ+)
80 rphalflt 11820 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 − 1) ∈ ℝ+ → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 − 1))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < (𝑃 − 1))
8248ltm1d 10916 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 1) < 𝑃)
8370, 50, 48, 81, 82lttrd 10158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
8569, 71, 72, 74, 84lelttrd 10155 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑦 < 𝑃)
8669, 72ltnled 10144 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃𝑦))
8785, 86mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃𝑦)
88 dvdsle 14975 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃𝑦𝑃𝑦))
8966, 37, 88syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃𝑦𝑃𝑦))
9087, 89mtod 189 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃𝑦)
91 coprm 15366 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑦 ↔ (𝑃 gcd 𝑦) = 1))
9263, 22, 91syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ 𝑃𝑦 ↔ (𝑃 gcd 𝑦) = 1))
9390, 92mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 gcd 𝑦) = 1)
9468, 93eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑦 gcd 𝑃) = 1)
95 eulerth 15431 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 gcd 𝑃) = 1) → ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
9664, 22, 94, 95syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑦↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
9762, 96eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑦↑2)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
983, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 13, 35, 24, 97lgsqrlem1 25005 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑂𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g𝑌))
99 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑌s (Base‘𝑌)) = (𝑌s (Base‘𝑌))
100 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌)))
101 fvexd 6170 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
10229, 26, 99, 17evl1rhm 19636 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
10310, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
10427, 100rhmf 18666 . . . . . . . . . 10 (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
10626ply1ring 19558 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
10712, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
108 ringgrp 18492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
110 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
111110ringmgp 18493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
112107, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
11331, 26, 27vr1cl 19527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
11412, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝐵)
115110, 27mgpbas 18435 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
116115, 30mulgnn0cl 17498 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
117112, 41, 114, 116syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
11827, 33ringidcl 18508 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Ring → 1𝐵)
119107, 118syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑1𝐵)
12027, 32grpsubcl 17435 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵1𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
121109, 117, 119, 120syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
12234, 121syl5eqel 2702 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇𝐵)
123105, 122ffvelrnd 6326 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝑇) ∈ (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
12499, 17, 100, 5, 101, 123pwselbas 16089 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
125 ffn 6012 . . . . . . 7 ((𝑂𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌) → (𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌))
126124, 125syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌))
127126adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌))
128 fniniseg 6304 . . . . 5 ((𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g𝑌))))
129127, 128syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿‘(𝑦↑2))) = (0g𝑌))))
13025, 98, 129mpbir2and 956 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(𝑦↑2)) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
131 lgsqr.g . . 3 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
132130, 131fmptd 6351 . 2 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
133 oveq1 6622 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦↑2) = (𝑥↑2))
134133fveq2d 6162 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
135 fvex 6168 . . . . . . . 8 (𝐿‘(𝑥↑2)) ∈ V
136134, 131, 135fvmpt 6249 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺𝑥) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
137136ad2antrl 763 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝐺𝑥) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
138 oveq1 6622 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦↑2) = (𝑧↑2))
139138fveq2d 6162 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
140 fvex 6168 . . . . . . . 8 (𝐿‘(𝑧↑2)) ∈ V
141139, 131, 140fvmpt 6249 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺𝑧) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
142141ad2antll 764 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝐺𝑧) = (𝐿‘(𝑧↑2)))
143137, 142eqeq12d 2636 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2))))
14447nnnn0d 11311 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
145144adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
146 elfzelz 12300 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
147146ad2antrl 763 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
148 zsqcl 12890 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
149147, 148syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
150 elfzelz 12300 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ∈ ℤ)
151150ad2antll 764 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℤ)
152 zsqcl 12890 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
153151, 152syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
1543, 13zndvds 19838 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑧↑2) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2))))
155145, 149, 153, 154syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘(𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2))))
156 elfznn 12328 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
157156ad2antrl 763 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
158157nncnd 10996 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
159 elfznn 12328 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ∈ ℕ)
160159ad2antll 764 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℕ)
161160nncnd 10996 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
162 subsq 12928 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) = ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)))
163158, 161, 162syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) = ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)))
164163breq2d 4635 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − (𝑧↑2)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧))))
165143, 155, 1643bitrd 294 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧))))
1662adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
167147, 151zaddcld 11446 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℤ)
168147, 151zsubcld 11447 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥𝑧) ∈ ℤ)
169 euclemma 15368 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑥𝑧) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)) ↔ (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧))))
170166, 167, 168, 169syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)) ↔ (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧))))
171166, 46syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ)
172171nnzd 11441 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℤ)
173157, 160nnaddcld 11027 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
174 dvdsle 14975 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
175172, 173, 174syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
176173nnred 10995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℝ)
177171nnred 10995 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ)
178177, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
179157nnred 10995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
180160nnred 10995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
18170adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
182 elfzle2 12303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
183182ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
184 elfzle2 12303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑧 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
185184ad2antll 764 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
186179, 180, 181, 181, 183, 185le2addd 10606 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)))
18751adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
1881872halvesd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
189186, 188breqtrd 4649 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) ≤ (𝑃 − 1))
190177ltm1d 10916 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) < 𝑃)
191176, 178, 177, 189, 190lelttrd 10155 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑧) < 𝑃)
192176, 177ltnled 10144 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 + 𝑧) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧)))
193191, 192mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧))
194193pm2.21d 118 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ≤ (𝑥 + 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
195175, 194syld 47 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
196 moddvds 14934 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧)))
197171, 147, 151, 196syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧)))
198171nnrpd 11830 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
199157nnnn0d 11311 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
200199nn0ge0d 11314 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ 𝑥)
20183adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
202179, 181, 177, 183, 201lelttrd 10155 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 < 𝑃)
203 modid 12651 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑃)) → (𝑥 mod 𝑃) = 𝑥)
204179, 198, 200, 202, 203syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 mod 𝑃) = 𝑥)
205160nnnn0d 11311 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 ∈ ℕ0)
206205nn0ge0d 11314 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ 𝑧)
207180, 181, 177, 185, 201lelttrd 10155 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑧 < 𝑃)
208 modid 12651 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑧𝑧 < 𝑃)) → (𝑧 mod 𝑃) = 𝑧)
209180, 198, 206, 207, 208syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑧 mod 𝑃) = 𝑧)
210204, 209eqeq12d 2636 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 mod 𝑃) = (𝑧 mod 𝑃) ↔ 𝑥 = 𝑧))
211197, 210bitr3d 270 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑧))
212211biimpd 219 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑥𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
213195, 212jaod 395 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ (𝑥𝑧)) → 𝑥 = 𝑧))
214170, 213sylbid 230 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((𝑥 + 𝑧) · (𝑥𝑧)) → 𝑥 = 𝑧))
215165, 214sylbid 230 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
216215ralrimivva 2967 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) → 𝑥 = 𝑧))
217 dff13 6477 . 2 (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝐺𝑥) = (𝐺𝑧) → 𝑥 = 𝑧)))
218132, 216, 217sylanbrc 697 1 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  Vcvv 3190  cdif 3557  {csn 4155   class class class wbr 4623  cmpt 4683  ccnv 5083  cima 5087   Fn wfn 5852  wf 5853  1-1wf1 5854  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226   / cdiv 10644  cn 10980  2c2 11030  0cn0 11252  cz 11337  cuz 11647  +crp 11792  ...cfz 12284   mod cmo 12624  cexp 12816  cdvds 14926   gcd cgcd 15159  cprime 15328  ϕcphi 15412  Basecbs 15800  0gc0g 16040  s cpws 16047  Mndcmnd 17234  Grpcgrp 17362  -gcsg 17364  .gcmg 17480  mulGrpcmgp 18429  1rcur 18441  Ringcrg 18487  CRingccrg 18488   RingHom crh 18652  Fieldcfield 18688  Domncdomn 19220  IDomncidom 19221  var1cv1 19486  Poly1cpl1 19487  eval1ce1 19619  ringzring 19758  ℤRHomczrh 19788  ℤ/nczn 19791   deg1 cdg1 23752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-ofr 6863  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-ec 7704  df-qs 7708  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-prm 15329  df-phi 15414  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-prds 16048  df-pws 16050  df-imas 16108  df-qus 16109  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-nsg 17532  df-eqg 17533  df-ghm 17598  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-srg 18446  df-ring 18489  df-cring 18490  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-rnghom 18655  df-drng 18689  df-field 18690  df-subrg 18718  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lsp 18912  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-lidl 19114  df-rsp 19115  df-2idl 19172  df-nzr 19198  df-rlreg 19223  df-domn 19224  df-idom 19225  df-assa 19252  df-asp 19253  df-ascl 19254  df-psr 19296  df-mvr 19297  df-mpl 19298  df-opsr 19300  df-evls 19446  df-evl 19447  df-psr1 19490  df-vr1 19491  df-ply1 19492  df-evl1 19621  df-cnfld 19687  df-zring 19759  df-zrh 19792  df-zn 19795
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  25008
  Copyright terms: Public domain W3C validator