MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcpremul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcpremul 15467
Description: Multiplicative property of the prime count pre-function. Note that the primality of 𝑃 is essential for this property; (4 pCnt 2) = 0 but (4 pCnt (2 · 2)) = 1 ≠ 2 · (4 pCnt 2) = 0. Since this is needed to show uniqueness for the real prime count function (over ), we don't bother to define it off the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcpremul.1 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑀}, ℝ, < )
pcpremul.2 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
pcpremul.3 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
pcpremul ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem pcpremul
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 15327 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
213ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
3 zmulcl 11371 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
43ad2ant2r 782 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
543adant1 1077 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
6 zcn 11327 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
76anim1i 591 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
8 zcn 11327 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
98anim1i 591 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
10 mulne0 10614 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
117, 9, 10syl2an 494 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
12113adant1 1077 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
13 eqid 2626 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}
1413pclem 15462 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦𝑥))
152, 5, 12, 14syl12anc 1321 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦𝑥))
1615simp1d 1071 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ)
1715simp3d 1073 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦𝑥)
18 simp2l 1085 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
19 simp2r 1086 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ≠ 0)
20 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑀} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑀}
21 pcpremul.1 . . . . . . . . . 10 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑀}, ℝ, < )
2220, 21pcprecl 15463 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑀))
232, 18, 19, 22syl12anc 1321 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑀))
2423simpld 475 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
25 simp3l 1087 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
26 simp3r 1088 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ≠ 0)
27 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
28 pcpremul.2 . . . . . . . . . 10 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
2927, 28pcprecl 15463 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑇) ∥ 𝑁))
302, 25, 26, 29syl12anc 1321 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑇) ∥ 𝑁))
3130simpld 475 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
3224, 31nn0addcld 11300 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0)
33 prmnn 15307 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
34333ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3534nncnd 10981 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
3635, 31, 24expaddd 12947 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) = ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇)))
3723simprd 479 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∥ 𝑀)
3834, 24nnexpcld 12967 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∈ ℕ)
3938nnzd 11425 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∈ ℤ)
4034, 31nnexpcld 12967 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ∈ ℕ)
4140nnzd 11425 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ∈ ℤ)
42 dvdsmulc 14928 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑇) ∈ ℤ) → ((𝑃𝑆) ∥ 𝑀 → ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃𝑇))))
4339, 18, 41, 42syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑆) ∥ 𝑀 → ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃𝑇))))
4437, 43mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃𝑇)))
4536, 44eqbrtrd 4640 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃𝑇)))
4630simprd 479 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ∥ 𝑁)
47 dvdscmul 14927 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑇) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑇) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
4841, 25, 18, 47syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑇) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
4946, 48mpd 15 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
5034, 32nnexpcld 12967 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℕ)
5150nnzd 11425 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ)
5218, 41zmulcld 11432 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∈ ℤ)
53 dvdstr 14937 . . . . . . . 8 (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∧ (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5451, 52, 5, 53syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∧ (𝑀 · (𝑃𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5545, 49, 54mp2and 714 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
56 oveq2 6613 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑆 + 𝑇) → (𝑃𝑥) = (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))
5756breq1d 4628 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑆 + 𝑇) → ((𝑃𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5857elrab 3351 . . . . . 6 ((𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ↔ ((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5932, 55, 58sylanbrc 697 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
60 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑛))
6160breq1d 4628 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑃𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6261cbvrabv 3190 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}
6359, 62syl6eleq 2714 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
64 suprzub 11723 . . . 4 (({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦𝑥 ∧ (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}) → (𝑆 + 𝑇) ≤ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < ))
6516, 17, 63, 64syl3anc 1323 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ≤ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < ))
66 pcpremul.3 . . 3 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < )
6765, 66syl6breqr 4660 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ≤ 𝑈)
6820, 21pcprendvds2 15465 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)))
692, 18, 19, 68syl12anc 1321 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)))
7027, 28pcprendvds2 15465 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇)))
712, 25, 26, 70syl12anc 1321 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇)))
72 ioran 511 . . . . 5 (¬ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇))) ↔ (¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇))))
7369, 71, 72sylanbrc 697 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇))))
74 simp1 1059 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℙ)
7538nnne0d 11010 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ≠ 0)
76 dvdsval2 14905 . . . . . . 7 (((𝑃𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑆) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑆) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ))
7739, 75, 18, 76syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑆) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ))
7837, 77mpbid 222 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ)
7940nnne0d 11010 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ≠ 0)
80 dvdsval2 14905 . . . . . . 7 (((𝑃𝑇) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑇) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃𝑇)) ∈ ℤ))
8141, 79, 25, 80syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃𝑇) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃𝑇)) ∈ ℤ))
8246, 81mpbid 222 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑃𝑇)) ∈ ℤ)
83 euclemma 15344 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃𝑇)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
8474, 78, 82, 83syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
8573, 84mtbird 315 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))))
8613, 66pcprecl 15463 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
872, 5, 12, 86syl12anc 1321 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
8887simpld 475 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
89 nn0ltp1le 11380 . . . . 5 (((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
9032, 88, 89syl2anc 692 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
9134nnzd 11425 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℤ)
92 peano2nn0 11278 . . . . . . . 8 ((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0 → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0)
9332, 92syl 17 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0)
94 dvdsexp 14968 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1))) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈))
95943expia 1264 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈)))
9691, 93, 95syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈)))
9787simprd 479 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁))
9834, 93nnexpcld 12967 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℕ)
9998nnzd 11425 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℤ)
10034, 88nnexpcld 12967 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑈) ∈ ℕ)
101100nnzd 11425 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑈) ∈ ℤ)
102 dvdstr 14937 . . . . . . . 8 (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑈) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈) ∧ (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10399, 101, 5, 102syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈) ∧ (𝑃𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10497, 103mpan2d 709 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃𝑈) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10596, 104syld 47 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
10693nn0zd 11424 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℤ)
10788nn0zd 11424 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℤ)
108 eluz 11645 . . . . . 6 ((((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ ℤ) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
109106, 107, 108syl2anc 692 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
11035, 32expp1d 12946 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃))
11118zcnd 11427 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
11225zcnd 11427 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
113111, 112mulcld 10005 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
11450nncnd 10981 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℂ)
11550nnne0d 11010 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ≠ 0)
116113, 114, 115divcan2d 10748 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))) = (𝑀 · 𝑁))
11736oveq2d 6621 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇))) = ((𝑀 · 𝑁) / ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇))))
11838nncnd 10981 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑆) ∈ ℂ)
11940nncnd 10981 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃𝑇) ∈ ℂ)
120111, 118, 112, 119, 75, 79divmuldivd 10787 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) = ((𝑀 · 𝑁) / ((𝑃𝑆) · (𝑃𝑇))))
121117, 120eqtr4d 2663 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇))) = ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))))
122121oveq2d 6621 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
123116, 122eqtr3d 2662 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
124110, 123breq12d 4631 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))))))
12578, 82zmulcld 11432 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) ∈ ℤ)
126 dvdscmulr 14929 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇))) ∈ ℤ ∧ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
12791, 125, 51, 115, 126syl112anc 1327 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
128124, 127bitrd 268 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
129105, 109, 1283imtr3d 282 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
13090, 129sylbid 230 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃𝑆)) · (𝑁 / (𝑃𝑇)))))
13185, 130mtod 189 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑆 + 𝑇) < 𝑈)
13232nn0red 11297 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ ℝ)
13388nn0red 11297 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℝ)
134132, 133eqleltd 10126 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) = 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) ≤ 𝑈 ∧ ¬ (𝑆 + 𝑇) < 𝑈)))
13567, 131, 134mpbir2and 956 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  {crab 2916  wss 3560  c0 3896   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  supcsup 8291  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020   / cdiv 10629  cn 10965  2c2 11015  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  cexp 12797  cdvds 14902  cprime 15304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-gcd 15136  df-prm 15305
This theorem is referenced by:  pceulem  15469  pcmul  15475
  Copyright terms: Public domain W3C validator