MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem3 19714
Description: Lemma for evlseu 19716. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem1.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem1.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem1.x = (.g𝑇)
evlslem1.m · = (.r𝑆)
evlslem1.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
evlslem1.i (𝜑𝐼 ∈ V)
evlslem1.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
evlslem3.z 0 = (0g𝑅)
evlslem3.k (𝜑𝐴𝐷)
evlslem3.q (𝜑𝐻𝐾)
Assertion
Ref Expression
evlslem3 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝑥, 0   𝐵,𝑝   𝐶,𝑏   𝐷,𝑏,𝑝,𝑥   𝐹,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝐴,𝑝,𝑥   ,𝐼   𝑥,𝐾   𝜑,𝑏,𝑥   𝐺,𝑏,𝑝   𝐻,𝑏,𝑝,𝑥   𝑆,𝑏,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑝)   𝐵(𝑥,,𝑏)   𝐶(𝑥,,𝑝)   𝐷()   𝑃(𝑥,,𝑝,𝑏)   𝑅(,𝑝,𝑏)   𝑆(𝑥,)   𝑇(𝑥,)   · (𝑥,)   𝐸(𝑥,,𝑝,𝑏)   (𝑥,)   𝐹(𝑥,)   𝐺(𝑥,)   𝐻()   𝐼(𝑥,𝑝,𝑏)   𝐾(,𝑝,𝑏)   𝑉(𝑥,,𝑝,𝑏)   0 ()

Proof of Theorem evlslem3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 evlslem1.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
3 evlslem3.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
4 evlslem1.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 evlslem1.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
6 evlslem1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 crngring 18756 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 evlslem1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
10 evlslem3.q . . . 4 (𝜑𝐻𝐾)
11 evlslem3.k . . . 4 (𝜑𝐴𝐷)
121, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11mplmon2cl 19700 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵)
13 fveq1 6349 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑝𝑏) = ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏))
1413fveq2d 6354 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)))
1514oveq1d 6826 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
1615mpteq2dv 4895 . . . . 5 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
1716oveq2d 6827 . . . 4 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
18 evlslem1.e . . . 4 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
19 ovex 6839 . . . 4 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6442 . . 3 ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
2112, 20syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
22 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏𝐷)
23 fvex 6360 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) ∈ V
243, 23eqeltri 2833 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑0 ∈ V)
26 ifexg 4299 . . . . . . . . . 10 ((𝐻𝐾0 ∈ V) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
2710, 25, 26syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
2827adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
29 eqeq1 2762 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐴𝑏 = 𝐴))
3029ifbid 4250 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
31 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
3230, 31fvmptg 6440 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐷 ∧ if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
3322, 28, 32syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
3433fveq2d 6354 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) = (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )))
3534oveq1d 6826 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
3635mpteq2dva 4894 . . . 4 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
3736oveq2d 6827 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
38 evlslem1.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑆)
39 eqid 2758 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
40 evlslem1.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
41 crngring 18756 . . . . . 6 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
4240, 41syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
43 ringmnd 18754 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
4442, 43syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Mnd)
45 ovex 6839 . . . . . 6 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
462, 45rabex2 4964 . . . . 5 𝐷 ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
4842adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
49 evlslem1.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
504, 38rhmf 18926 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾𝐶)
5149, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐾𝐶)
524, 3ring0cl 18767 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
538, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑0𝐾)
5410, 53ifcld 4273 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ 𝐾)
5551, 54ffvelrnd 6521 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
5655adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
57 evlslem1.t . . . . . . . 8 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
5857, 38mgpbas 18693 . . . . . . 7 𝐶 = (Base‘𝑇)
59 eqid 2758 . . . . . . 7 (0g𝑇) = (0g𝑇)
6057crngmgp 18753 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
6140, 60syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
6261adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
635adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐼 ∈ V)
64 cmnmnd 18406 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
6561, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
6665ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑇 ∈ Mnd)
67 simprl 811 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
68 simprr 813 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑧𝐶)
69 evlslem1.x . . . . . . . . . 10 = (.g𝑇)
7058, 69mulgnn0cl 17757 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶) → (𝑦 𝑧) ∈ 𝐶)
7166, 67, 68, 70syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 𝑧) ∈ 𝐶)
722psrbagf 19565 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
735, 72sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
74 evlslem1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
7574adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐺:𝐼𝐶)
76 inidm 3963 . . . . . . . 8 (𝐼𝐼) = 𝐼
7771, 73, 75, 63, 63, 76off 7075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏𝑓 𝐺):𝐼𝐶)
78 ovex 6839 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑓 𝐺) ∈ V
7978a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏𝑓 𝐺) ∈ V)
8077ffund 6208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → Fun (𝑏𝑓 𝐺))
81 fvex 6360 . . . . . . . . 9 (0g𝑇) ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (0g𝑇) ∈ V)
832psrbag 19564 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ V → (𝑏𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
845, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
8584simplbda 655 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)
8673ffnd 6205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏 Fn 𝐼)
8786adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝑏 Fn 𝐼)
8874ffnd 6205 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
8988ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝐺 Fn 𝐼)
905ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝐼 ∈ V)
91 eldifi 3873 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ)) → 𝑦𝐼)
9291adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝑦𝐼)
93 fnfvof 7074 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 Fn 𝐼𝐺 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑦𝐼)) → ((𝑏𝑓 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)))
9487, 89, 90, 92, 93syl22anc 1478 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑓 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)))
95 eldifn 3874 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
9695adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
9791ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦𝐼)
98 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ)
9986ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑏 Fn 𝐼)
100 elpreima 6498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 Fn 𝐼 → (𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ) ↔ (𝑦𝐼 ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ)))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ) ↔ (𝑦𝐼 ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ)))
10297, 98, 101mpbir2and 995 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
10396, 102mtand 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ¬ (𝑏𝑦) ∈ ℕ)
104 ffvelrn 6518 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏:𝐼⟶ℕ0𝑦𝐼) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ0)
10573, 91, 104syl2an 495 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ0)
106 elnn0 11484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑦) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑏𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏𝑦) = 0))
107105, 106sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏𝑦) = 0))
108 orel1 396 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑏𝑦) ∈ ℕ → (((𝑏𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏𝑦) = 0) → (𝑏𝑦) = 0))
109103, 107, 108sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏𝑦) = 0)
110109oveq1d 6826 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)) = (0 (𝐺𝑦)))
111 ffvelrn 6518 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:𝐼𝐶𝑦𝐼) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐶)
11275, 91, 111syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐶)
11358, 59, 69mulg0 17745 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑦) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑦)) = (0g𝑇))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (0 (𝐺𝑦)) = (0g𝑇))
11594, 110, 1143eqtrd 2796 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑓 𝐺)‘𝑦) = (0g𝑇))
11677, 115suppss 7492 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝑏𝑓 𝐺) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑏 “ ℕ))
117 suppssfifsupp 8453 . . . . . . . 8 ((((𝑏𝑓 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝑏𝑓 𝐺) ∧ (0g𝑇) ∈ V) ∧ ((𝑏 “ ℕ) ∈ Fin ∧ ((𝑏𝑓 𝐺) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏𝑓 𝐺) finSupp (0g𝑇))
11879, 80, 82, 85, 116, 117syl32anc 1485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏𝑓 𝐺) finSupp (0g𝑇))
11958, 59, 62, 63, 77, 118gsumcl 18514 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
120 evlslem1.m . . . . . . 7 · = (.r𝑆)
12138, 120ringcl 18759 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ 𝐶)
12248, 56, 119, 121syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ 𝐶)
123 eqid 2758 . . . . 5 (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
124122, 123fmptd 6546 . . . 4 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
125 eldifsni 4464 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → 𝑏𝐴)
126125neneqd 2935 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → ¬ 𝑏 = 𝐴)
127126iffalsed 4239 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
128127adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
129128fveq2d 6354 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹0 ))
130 rhmghm 18925 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
13149, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
1323, 39ghmid 17865 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
134133adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
135129, 134eqtrd 2792 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (0g𝑆))
136135oveq1d 6826 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
13742adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → 𝑆 ∈ Ring)
138 eldifi 3873 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → 𝑏𝐷)
139138, 119sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
14038, 120, 39ringlz 18785 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (0g𝑆))
141137, 139, 140syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (0g𝑆))
142136, 141eqtrd 2792 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (0g𝑆))
143142, 47suppss2 7496 . . . 4 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) supp (0g𝑆)) ⊆ {𝐴})
14438, 39, 44, 47, 11, 124, 143gsumpt 18559 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))‘𝐴))
14537, 144eqtrd 2792 . 2 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))‘𝐴))
146 iftrue 4234 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 𝐻)
147146fveq2d 6354 . . . . 5 (𝑏 = 𝐴 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹𝐻))
148 oveq1 6818 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (𝑏𝑓 𝐺) = (𝐴𝑓 𝐺))
149148oveq2d 6827 . . . . 5 (𝑏 = 𝐴 → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺)))
150147, 149oveq12d 6829 . . . 4 (𝑏 = 𝐴 → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
151 ovex 6839 . . . 4 ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))) ∈ V
152150, 123, 151fvmpt 6442 . . 3 (𝐴𝐷 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
15311, 152syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
15421, 145, 1533eqtrd 2796 1 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  {crab 3052  Vcvv 3338  cdif 3710  wss 3713  ifcif 4228  {csn 4319   class class class wbr 4802  cmpt 4879  ccnv 5263  cima 5267  Fun wfun 6041   Fn wfn 6042  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  𝑓 cof 7058   supp csupp 7461  𝑚 cmap 8021  Fincfn 8119   finSupp cfsupp 8438  0cc0 10126  cn 11210  0cn0 11482  Basecbs 16057  .rcmulr 16142  0gc0g 16300   Σg cgsu 16301  Mndcmnd 17493  .gcmg 17739   GrpHom cghm 17856  CMndccmn 18391  mulGrpcmgp 18687  Ringcrg 18745  CRingccrg 18746   RingHom crh 18912   mVar cmvr 19552   mPoly cmpl 19553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-oi 8578  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-seq 12994  df-hash 13310  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-tset 16160  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-mhm 17534  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-mulg 17740  df-subg 17790  df-ghm 17857  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-rnghom 18915  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-psr 19556  df-mpl 19558
This theorem is referenced by:  evlslem1  19715
  Copyright terms: Public domain W3C validator