MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem3 19433
Description: Lemma for evlseu 19435. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem1.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem1.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem1.x = (.g𝑇)
evlslem1.m · = (.r𝑆)
evlslem1.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
evlslem1.i (𝜑𝐼 ∈ V)
evlslem1.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
evlslem3.z 0 = (0g𝑅)
evlslem3.k (𝜑𝐴𝐷)
evlslem3.q (𝜑𝐻𝐾)
Assertion
Ref Expression
evlslem3 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝑥, 0   𝐵,𝑝   𝐶,𝑏   𝐷,𝑏,𝑝,𝑥   𝐹,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝐴,𝑝,𝑥   ,𝐼   𝑥,𝐾   𝜑,𝑏,𝑥   𝐺,𝑏,𝑝   𝐻,𝑏,𝑝,𝑥   𝑆,𝑏,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑝)   𝐵(𝑥,,𝑏)   𝐶(𝑥,,𝑝)   𝐷()   𝑃(𝑥,,𝑝,𝑏)   𝑅(,𝑝,𝑏)   𝑆(𝑥,)   𝑇(𝑥,)   · (𝑥,)   𝐸(𝑥,,𝑝,𝑏)   (𝑥,)   𝐹(𝑥,)   𝐺(𝑥,)   𝐻()   𝐼(𝑥,𝑝,𝑏)   𝐾(,𝑝,𝑏)   𝑉(𝑥,,𝑝,𝑏)   0 ()

Proof of Theorem evlslem3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 evlslem1.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
3 evlslem3.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
4 evlslem1.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 evlslem1.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
6 evlslem1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 crngring 18479 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 evlslem1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
10 evlslem3.q . . . 4 (𝜑𝐻𝐾)
11 evlslem3.k . . . 4 (𝜑𝐴𝐷)
121, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11mplmon2cl 19419 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵)
13 fveq1 6147 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑝𝑏) = ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏))
1413fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)))
1514oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
1615mpteq2dv 4705 . . . . 5 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
1716oveq2d 6620 . . . 4 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
18 evlslem1.e . . . 4 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
19 ovex 6632 . . . 4 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6239 . . 3 ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
2112, 20syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
22 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏𝐷)
23 fvex 6158 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) ∈ V
243, 23eqeltri 2694 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑0 ∈ V)
26 ifexg 4129 . . . . . . . . . 10 ((𝐻𝐾0 ∈ V) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
2710, 25, 26syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
2827adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
29 eqeq1 2625 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐴𝑏 = 𝐴))
3029ifbid 4080 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
31 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
3230, 31fvmptg 6237 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐷 ∧ if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
3322, 28, 32syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
3433fveq2d 6152 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) = (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )))
3534oveq1d 6619 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
3635mpteq2dva 4704 . . . 4 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
3736oveq2d 6620 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
38 evlslem1.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑆)
39 eqid 2621 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
40 evlslem1.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
41 crngring 18479 . . . . . 6 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
4240, 41syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
43 ringmnd 18477 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
4442, 43syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Mnd)
45 ovex 6632 . . . . . 6 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
462, 45rabex2 4775 . . . . 5 𝐷 ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
4842adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
49 evlslem1.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
504, 38rhmf 18647 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾𝐶)
5149, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐾𝐶)
524, 3ring0cl 18490 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
538, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑0𝐾)
5410, 53ifcld 4103 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ 𝐾)
5551, 54ffvelrnd 6316 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
5655adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
57 evlslem1.t . . . . . . . 8 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
5857, 38mgpbas 18416 . . . . . . 7 𝐶 = (Base‘𝑇)
59 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝑇) = (0g𝑇)
6057crngmgp 18476 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
6140, 60syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
6261adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
635adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐼 ∈ V)
64 cmnmnd 18129 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
6561, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
6665ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑇 ∈ Mnd)
67 simprl 793 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
68 simprr 795 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑧𝐶)
69 evlslem1.x . . . . . . . . . 10 = (.g𝑇)
7058, 69mulgnn0cl 17479 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶) → (𝑦 𝑧) ∈ 𝐶)
7166, 67, 68, 70syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 𝑧) ∈ 𝐶)
722psrbagf 19284 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
735, 72sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
74 evlslem1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
7574adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐺:𝐼𝐶)
76 inidm 3800 . . . . . . . 8 (𝐼𝐼) = 𝐼
7771, 73, 75, 63, 63, 76off 6865 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏𝑓 𝐺):𝐼𝐶)
78 ovex 6632 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑓 𝐺) ∈ V
7978a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏𝑓 𝐺) ∈ V)
8077ffund 6006 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → Fun (𝑏𝑓 𝐺))
81 fvex 6158 . . . . . . . . 9 (0g𝑇) ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (0g𝑇) ∈ V)
832psrbag 19283 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ V → (𝑏𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
845, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
8584simplbda 653 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)
8673ffnd 6003 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏 Fn 𝐼)
8786adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝑏 Fn 𝐼)
8874ffnd 6003 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
8988ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝐺 Fn 𝐼)
905ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝐼 ∈ V)
91 eldifi 3710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ)) → 𝑦𝐼)
9291adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝑦𝐼)
93 fnfvof 6864 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 Fn 𝐼𝐺 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑦𝐼)) → ((𝑏𝑓 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)))
9487, 89, 90, 92, 93syl22anc 1324 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑓 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)))
95 eldifn 3711 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
9695adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
9791ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦𝐼)
98 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ)
9986ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑏 Fn 𝐼)
100 elpreima 6293 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 Fn 𝐼 → (𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ) ↔ (𝑦𝐼 ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ)))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ) ↔ (𝑦𝐼 ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ)))
10297, 98, 101mpbir2and 956 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
10396, 102mtand 690 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ¬ (𝑏𝑦) ∈ ℕ)
104 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏:𝐼⟶ℕ0𝑦𝐼) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ0)
10573, 91, 104syl2an 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ0)
106 elnn0 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑦) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑏𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏𝑦) = 0))
107105, 106sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏𝑦) = 0))
108 orel1 397 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑏𝑦) ∈ ℕ → (((𝑏𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏𝑦) = 0) → (𝑏𝑦) = 0))
109103, 107, 108sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏𝑦) = 0)
110109oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)) = (0 (𝐺𝑦)))
111 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:𝐼𝐶𝑦𝐼) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐶)
11275, 91, 111syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐶)
11358, 59, 69mulg0 17467 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑦) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑦)) = (0g𝑇))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (0 (𝐺𝑦)) = (0g𝑇))
11594, 110, 1143eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑓 𝐺)‘𝑦) = (0g𝑇))
11677, 115suppss 7270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝑏𝑓 𝐺) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑏 “ ℕ))
117 suppssfifsupp 8234 . . . . . . . 8 ((((𝑏𝑓 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝑏𝑓 𝐺) ∧ (0g𝑇) ∈ V) ∧ ((𝑏 “ ℕ) ∈ Fin ∧ ((𝑏𝑓 𝐺) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏𝑓 𝐺) finSupp (0g𝑇))
11879, 80, 82, 85, 116, 117syl32anc 1331 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏𝑓 𝐺) finSupp (0g𝑇))
11958, 59, 62, 63, 77, 118gsumcl 18237 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
120 evlslem1.m . . . . . . 7 · = (.r𝑆)
12138, 120ringcl 18482 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ 𝐶)
12248, 56, 119, 121syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ 𝐶)
123 eqid 2621 . . . . 5 (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
124122, 123fmptd 6340 . . . 4 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
125 eldifsni 4289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → 𝑏𝐴)
126125neneqd 2795 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → ¬ 𝑏 = 𝐴)
127126iffalsed 4069 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
128127adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
129128fveq2d 6152 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹0 ))
130 rhmghm 18646 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
13149, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
1323, 39ghmid 17587 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
134133adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
135129, 134eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (0g𝑆))
136135oveq1d 6619 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
13742adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → 𝑆 ∈ Ring)
138 eldifi 3710 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → 𝑏𝐷)
139138, 119sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
14038, 120, 39ringlz 18508 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (0g𝑆))
141137, 139, 140syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (0g𝑆))
142136, 141eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (0g𝑆))
143142, 47suppss2 7274 . . . 4 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) supp (0g𝑆)) ⊆ {𝐴})
14438, 39, 44, 47, 11, 124, 143gsumpt 18282 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))‘𝐴))
14537, 144eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))‘𝐴))
146 iftrue 4064 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 𝐻)
147146fveq2d 6152 . . . . 5 (𝑏 = 𝐴 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹𝐻))
148 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (𝑏𝑓 𝐺) = (𝐴𝑓 𝐺))
149148oveq2d 6620 . . . . 5 (𝑏 = 𝐴 → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺)))
150147, 149oveq12d 6622 . . . 4 (𝑏 = 𝐴 → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
151 ovex 6632 . . . 4 ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))) ∈ V
152150, 123, 151fvmpt 6239 . . 3 (𝐴𝐷 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
15311, 152syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
15421, 145, 1533eqtrd 2659 1 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3186  cdif 3552  wss 3555  ifcif 4058  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ccnv 5073  cima 5077  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848   supp csupp 7240  𝑚 cmap 7802  Fincfn 7899   finSupp cfsupp 8219  0cc0 9880  cn 10964  0cn0 11236  Basecbs 15781  .rcmulr 15863  0gc0g 16021   Σg cgsu 16022  Mndcmnd 17215  .gcmg 17461   GrpHom cghm 17578  CMndccmn 18114  mulGrpcmgp 18410  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469   RingHom crh 18633   mVar cmvr 19271   mPoly cmpl 19272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-tset 15881  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-rnghom 18636  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-psr 19275  df-mpl 19277
This theorem is referenced by:  evlslem1  19434
  Copyright terms: Public domain W3C validator