MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodge1 14770
Description: If all of the terms of a finite product are larger or equal to 1, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodge1.ph 𝑘𝜑
fprodge1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodge1.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge1.ge ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodge1 (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 10077 . . . 4 1 ∈ ℝ
21rexri 10135 . . 3 1 ∈ ℝ*
32a1i 11 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10130 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6 fprodge1.ph . . 3 𝑘𝜑
7 icossre 12292 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
81, 4, 7mp2an 708 . . . . 5 (1[,)+∞) ⊆ ℝ
9 ax-resscn 10031 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
108, 9sstri 3645 . . . 4 (1[,)+∞) ⊆ ℂ
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1[,)+∞) ⊆ ℂ)
122a1i 11 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ*)
134a1i 11 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
148sseli 3632 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
168sseli 3632 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1815, 17remulcld 10108 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1918rexrd 10127 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ*)
20 1t1e1 11213 . . . . . . . 8 (1 · 1) = 1
2120eqcomi 2660 . . . . . . 7 1 = (1 · 1)
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 = (1 · 1))
231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
24 0le1 10589 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ 1)
262a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ∈ ℝ*)
274a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
28 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
29 icogelb 12263 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
3026, 27, 28, 29syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 1 ∈ ℝ*)
334a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
34 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 𝑦 ∈ (1[,)+∞))
35 icogelb 12263 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑦)
3736adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
3823, 15, 23, 17, 25, 25, 31, 37lemul12ad 11004 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦))
3922, 38eqbrtrd 4707 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
4018ltpnfd 11993 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) < +∞)
4112, 13, 19, 39, 40elicod 12262 . . . 4 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
4241adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
43 fprodge1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
442a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ∈ ℝ*)
454a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
46 fprodge1.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4746rexrd 10127 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
48 fprodge1.ge . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ≤ 𝐵)
4946ltpnfd 11993 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 < +∞)
5044, 45, 47, 48, 49elicod 12262 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
51 1le1 10693 . . . . . 6 1 ≤ 1
52 ltpnf 11992 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
531, 52ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
541, 51, 533pm3.2i 1259 . . . . 5 (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)
55 elico2 12275 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
561, 4, 55mp2an 708 . . . . 5 (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
5754, 56mpbir 221 . . . 4 1 ∈ (1[,)+∞)
5857a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (1[,)+∞))
596, 11, 42, 43, 50, 58fprodcllemf 14732 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
60 icogelb 12263 . 2 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
613, 5, 59, 60syl3anc 1366 1 (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wss 3607   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  [,)cico 12215  cprod 14679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680
This theorem is referenced by:  fprodle  14771
  Copyright terms: Public domain W3C validator