Theorem fprodge1 15349

Description: If all of the terms of a finite product are greater than or equal to 1, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodge1.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodge1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodge1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge1.ge	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodge1	⊢ (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 10700	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		pnfxr 10695	. 2 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		fprodge1.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		1re 10641	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		icossre 12818	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
6	4, 2, 5	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ
7		ax-resscn 10594	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstri 3976	. . . 4 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℂ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1[,)+∞) ⊆ ℂ)
10	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ*)
11	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
12	6	sseli 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	6	sseli 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
15	14	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
16	13, 15	remulcld 10671	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 10691	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ*)
18		1t1e1 11800	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
19	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
20		0le1 11163	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ 1)
22		icogelb 12789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
23	1, 2, 22	mp3an12 1447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
24	23	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
25		icogelb 12789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
26	1, 2, 25	mp3an12 1447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑦)
27	26	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
28	19, 13, 19, 15, 21, 21, 24, 27	lemul12ad 11582	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦))
29	18, 28	eqbrtrrid 5102	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
30	16	ltpnfd 12517	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) < +∞)
31	10, 11, 17, 29, 30	elicod 12788	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
32	31	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
33		fprodge1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
34	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℝ*)
35	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
36		fprodge1.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	rexrd 10691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38		fprodge1.ge	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ≤ 𝐵)
39	36	ltpnfd 12517	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 < +∞)
40	34, 35, 37, 38, 39	elicod 12788	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
41		1le1 11268	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
42		ltpnf 12516	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
43	4, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
44		elico2 12801	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
45	4, 2, 44	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
46	4, 41, 43, 45	mpbir3an 1337	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1[,)+∞)
47	46	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1[,)+∞))
48	3, 9, 32, 33, 40, 47	fprodcllemf 15312	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
49		icogelb 12789	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
50	1, 2, 48, 49	mp3an12i 1461	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542  +∞cpnf 10672  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675   ≤ cle 10676  [,)cico 12741  ∏cprod 15259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-ico 12745  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-prod 15260

This theorem is referenced by:  fprodle  15350