MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchpwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchpwdom 9348
Description: A relationship between dominance over the powerset and strict dominance when the sets involved are infinite GCH-sets. Proposition 3.1 of [KanamoriPincus] p. 421. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchpwdom ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴𝐵))

Proof of Theorem gchpwdom
StepHypRef Expression
1 simpl2 1057 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ GCH)
2 pwexg 4771 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ GCH → 𝒫 𝐴 ∈ V)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4 simpl3 1058 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ GCH)
5 cdadom3 8870 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
63, 4, 5syl2anc 690 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
7 domen2 7965 . . . . 5 (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)))
86, 7syl5ibrcom 235 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵))
9 cdacomen 8863 . . . . . . 7 (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)
10 entr 7871 . . . . . . 7 (((𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
119, 10mpan 701 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
12 ensym 7868 . . . . . 6 ((𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
13 endom 7845 . . . . . 6 (𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
15 domsdomtr 7957 . . . . . . . . . . 11 ((ω ≼ 𝐴𝐴𝐵) → ω ≺ 𝐵)
16153ad2antl1 1215 . . . . . . . . . 10 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≺ 𝐵)
17 sdomnsym 7947 . . . . . . . . . 10 (ω ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ ω)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ ω)
19 isfinite 8409 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ≺ ω)
2018, 19sylnibr 317 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
21 gchcdaidm 9346 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵)
224, 20, 21syl2anc 690 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵)
23 pwen 7995 . . . . . . 7 ((𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24 domen1 7964 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴)))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴)))
26 pwcdadom 8898 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
27 canth2g 7976 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ GCH → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
28 sdomdomtr 7955 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
2928ex 448 . . . . . . . . 9 (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
304, 27, 293syl 18 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
31 gchi 9302 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴𝐵𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
32313expia 1258 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
33323ad2antl2 1216 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
34 isfinite 8409 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
35 simpl1 1056 . . . . . . . . . . 11 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≼ 𝐴)
36 domnsym 7948 . . . . . . . . . . 11 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
3837pm2.21d 116 . . . . . . . . 9 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ≺ ω → 𝒫 𝐴𝐵))
3934, 38syl5bi 230 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴𝐵))
4030, 33, 393syld 57 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴𝐵))
4126, 40syl5 33 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵))
4225, 41sylbird 248 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵))
4314, 42syl5 33 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
44 cdadom3 8870 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
454, 3, 44syl2anc 690 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
46 domentr 7878 . . . . . 6 ((𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
4745, 9, 46sylancl 692 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
48 sdomdom 7846 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
4948adantl 480 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
50 pwdom 7974 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
51 cdadom1 8868 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵))
534, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
54 sdomdom 7846 . . . . . . . 8 (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
55 cdadom2 8869 . . . . . . . 8 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
57 domtr 7872 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵)) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
5852, 56, 57syl2anc 690 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
59 pwcda1 8876 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ GCH → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜))
604, 59syl 17 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜))
61 gchcda1 9334 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵)
624, 20, 61syl2anc 690 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵)
63 pwen 7995 . . . . . . . 8 ((𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵)
6462, 63syl 17 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵)
65 entr 7871 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
6660, 64, 65syl2anc 690 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
67 domentr 7878 . . . . . 6 (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
6858, 66, 67syl2anc 690 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
69 gchor 9305 . . . . 5 (((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
704, 20, 47, 68, 69syl22anc 1318 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
718, 43, 70mpjaod 394 . . 3 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
7271ex 448 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
73 reldom 7824 . . . . 5 Rel ≼
7473brrelexi 5072 . . . 4 (𝒫 𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
75 pwexb 6844 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
76 canth2g 7976 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7775, 76sylbir 223 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7874, 77syl 17 . . 3 (𝒫 𝐴𝐵𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
79 sdomdomtr 7955 . . 3 ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
8078, 79mpancom 699 . 2 (𝒫 𝐴𝐵𝐴𝐵)
8172, 80impbid1 213 1 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030  wcel 1976  Vcvv 3172  𝒫 cpw 4107   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  ωcom 6934  1𝑜c1o 7417  cen 7815  cdom 7816  csdm 7817  Fincfn 7818   +𝑐 ccda 8849  GCHcgch 9298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-seqom 7407  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-oexp 7430  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-har 8323  df-wdom 8324  df-cnf 8419  df-card 8625  df-cda 8850  df-fin4 8969  df-gch 9299
This theorem is referenced by:  gchaleph2  9350  gchina  9377
  Copyright terms: Public domain W3C validator