MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchpwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchpwdom 9530
Description: A relationship between dominance over the powerset and strict dominance when the sets involved are infinite GCH-sets. Proposition 3.1 of [KanamoriPincus] p. 421. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchpwdom ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴𝐵))

Proof of Theorem gchpwdom
StepHypRef Expression
1 simpl2 1085 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ GCH)
2 pwexg 4880 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ GCH → 𝒫 𝐴 ∈ V)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4 simpl3 1086 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ GCH)
5 cdadom3 9048 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
63, 4, 5syl2anc 694 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
7 domen2 8144 . . . . 5 (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)))
86, 7syl5ibrcom 237 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵))
9 cdacomen 9041 . . . . . . 7 (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)
10 entr 8049 . . . . . . 7 (((𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
119, 10mpan 706 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
12 ensym 8046 . . . . . 6 ((𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
13 endom 8024 . . . . . 6 (𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
15 domsdomtr 8136 . . . . . . . . . . 11 ((ω ≼ 𝐴𝐴𝐵) → ω ≺ 𝐵)
16153ad2antl1 1243 . . . . . . . . . 10 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≺ 𝐵)
17 sdomnsym 8126 . . . . . . . . . 10 (ω ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ ω)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ ω)
19 isfinite 8587 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ≺ ω)
2018, 19sylnibr 318 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
21 gchcdaidm 9528 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵)
224, 20, 21syl2anc 694 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵)
23 pwen 8174 . . . . . . 7 ((𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24 domen1 8143 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴)))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴)))
26 pwcdadom 9076 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
27 canth2g 8155 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ GCH → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
28 sdomdomtr 8134 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
2928ex 449 . . . . . . . . 9 (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
304, 27, 293syl 18 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
31 gchi 9484 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴𝐵𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
32313expia 1286 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
33323ad2antl2 1244 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
34 isfinite 8587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
35 simpl1 1084 . . . . . . . . . . 11 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≼ 𝐴)
36 domnsym 8127 . . . . . . . . . . 11 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
3837pm2.21d 118 . . . . . . . . 9 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ≺ ω → 𝒫 𝐴𝐵))
3934, 38syl5bi 232 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴𝐵))
4030, 33, 393syld 60 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴𝐵))
4126, 40syl5 34 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵))
4225, 41sylbird 250 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵))
4314, 42syl5 34 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
44 cdadom3 9048 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
454, 3, 44syl2anc 694 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
46 domentr 8056 . . . . . 6 ((𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
4745, 9, 46sylancl 695 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
48 sdomdom 8025 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
4948adantl 481 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
50 pwdom 8153 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
51 cdadom1 9046 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵))
534, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
54 sdomdom 8025 . . . . . . . 8 (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
55 cdadom2 9047 . . . . . . . 8 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
57 domtr 8050 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵)) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
5852, 56, 57syl2anc 694 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
59 pwcda1 9054 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ GCH → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜))
604, 59syl 17 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜))
61 gchcda1 9516 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵)
624, 20, 61syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵)
63 pwen 8174 . . . . . . . 8 ((𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵)
6462, 63syl 17 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵)
65 entr 8049 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
6660, 64, 65syl2anc 694 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
67 domentr 8056 . . . . . 6 (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
6858, 66, 67syl2anc 694 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
69 gchor 9487 . . . . 5 (((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
704, 20, 47, 68, 69syl22anc 1367 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
718, 43, 70mpjaod 395 . . 3 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
7271ex 449 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
73 reldom 8003 . . . . 5 Rel ≼
7473brrelexi 5192 . . . 4 (𝒫 𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
75 pwexb 7017 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
76 canth2g 8155 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7775, 76sylbir 225 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7874, 77syl 17 . . 3 (𝒫 𝐴𝐵𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
79 sdomdomtr 8134 . . 3 ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
8078, 79mpancom 704 . 2 (𝒫 𝐴𝐵𝐴𝐵)
8172, 80impbid1 215 1 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054  wcel 2030  Vcvv 3231  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ωcom 7107  1𝑜c1o 7598  cen 7994  cdom 7995  csdm 7996  Fincfn 7997   +𝑐 ccda 9027  GCHcgch 9480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-seqom 7588  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-oexp 7611  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-har 8504  df-wdom 8505  df-cnf 8597  df-card 8803  df-cda 9028  df-fin4 9147  df-gch 9481
This theorem is referenced by:  gchaleph2  9532  gchina  9559
  Copyright terms: Public domain W3C validator