Theorem hhph 28955

Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Assertion

Ref	Expression
hhph	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem hhph

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2	1	hhnv 28942	. 2 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
3		normpar 28932	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
4		hvsubval 28793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))
5	4	fveq2d 6674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) = (normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦))))
6	5	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) = ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2))
7	6	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)))
8		hvaddcl 28789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
9		normcl 28902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
12	11	sqcld 13509	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
13		hvsubcl 28794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
14		normcl 28902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦)) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 13509	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) ∈ ℂ)
18	12, 17	addcomd 10842	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)))
19	7, 18	eqtr3d 2858	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (((normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2)))
20		normcl 28902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
21	20	recnd 10669	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑥) ∈ ℂ)
22	21	sqcld 13509	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
23		normcl 28902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
24	23	recnd 10669	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ)
25	24	sqcld 13509	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ)
26		2cn 11713	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		adddi 10626	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
28	26, 27	mp3an1 1444	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
29	22, 25, 28	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))) = ((2 · ((normℎ‘𝑥)↑2)) + (2 · ((normℎ‘𝑦)↑2))))
30	3, 19, 29	3eqtr4d 2866	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))
31	30	rgen2 3203	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2)))
32		hilablo 28937	. . . 4 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
33	32	elexi 3513	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ V
34		hvmulex 28788	. . 3 ⊢ ·ℎ ∈ V
35		normf 28900	. . . 4 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
36		ax-hilex 28776	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
37		fex 6989	. . . 4 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
38	35, 36, 37	mp2an 690	. . 3 ⊢ normℎ ∈ V
39		hhnv.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
40	39	eleq1i 2903	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CPreHilOLD)
41		ablogrpo 28324	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
42	32, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
43		ax-hfvadd 28777	. . . . . . 7 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
44	43	fdmi 6524	. . . . . 6 ⊢ dom +ℎ = ( ℋ × ℋ)
45	42, 44	grporn 28298	. . . . 5 ⊢ ℋ = ran +ℎ
46	45	isphg 28594	. . . 4 ⊢ (( +ℎ ∈ V ∧ ·ℎ ∈ V ∧ normℎ ∈ V) → (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))))
47	40, 46	syl5bb 285	. . 3 ⊢ (( +ℎ ∈ V ∧ ·ℎ ∈ V ∧ normℎ ∈ V) → (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2))))))
48	33, 34, 38, 47	mp3an 1457	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((normℎ‘(𝑥 +ℎ 𝑦))↑2) + ((normℎ‘(𝑥 +ℎ (-1 ·ℎ 𝑦)))↑2)) = (2 · (((normℎ‘𝑥)↑2) + ((normℎ‘𝑦)↑2)))))
49	2, 31, 48	mpbir2an 709	1 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  Vcvv 3494  ⟨cop 4573   × cxp 5553  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  -cneg 10871  2c2 11693  ↑cexp 13430  GrpOpcgr 28266  AbelOpcablo 28321  NrmCVeccnv 28361  CPreHil_OLDccphlo 28589   ℋchba 28696   +_ℎ cva 28697   ·_ℎ csm 28698  norm_ℎcno 28700   −_ℎ cmv 28702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-hilex 28776  ax-hfvadd 28777  ax-hvcom 28778  ax-hvass 28779  ax-hv0cl 28780  ax-hvaddid 28781  ax-hfvmul 28782  ax-hvmulid 28783  ax-hvmulass 28784  ax-hvdistr1 28785  ax-hvdistr2 28786  ax-hvmul0 28787  ax-hfi 28856  ax-his1 28859  ax-his2 28860  ax-his3 28861  ax-his4 28862

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-grpo 28270  df-gid 28271  df-ablo 28322  df-vc 28336  df-nv 28369  df-ph 28590  df-hnorm 28745  df-hvsub 28748

This theorem is referenced by:  bcsiHIL  28957  hhhl  28981  pjhthlem2  29169