Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccvonmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccvonmbllem 39366
Description: Any n-dimensional closed interval is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (c) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iccvonmbllem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iccvonmbllem.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
iccvonmbllem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbllem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbllem.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))))
iccvonmbllem.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
iccvonmbllem (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑆,𝑛   𝑖,𝑋,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem iccvonmbllem
StepHypRef Expression
1 iccvonmbllem.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))))
21a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))))
3 iccvonmbllem.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
43adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
54mptexd 6369 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))) ∈ V)
62, 5fvmpt2d 6187 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))))
7 iccvonmbllem.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
87ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
98adantlr 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
10 nnrecre 10904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1110ad2antlr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
129, 11resubcld 10309 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
136, 12fvmpt2d 6187 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))
1413an32s 841 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))
15 iccvonmbllem.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))))
174mptexd 6369 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
1816, 17fvmpt2d 6187 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
19 iccvonmbllem.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
2019ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
2120adantlr 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
2221, 11readdcld 9925 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
2318, 22fvmpt2d 6187 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐷𝑛)‘𝑖) = ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))
2423an32s 841 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)‘𝑖) = ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))
2514, 24oveq12d 6545 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = (((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
2625iineq2dv 4473 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
278, 20iooiinicc 38413 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))) = ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
2826, 27eqtrd 2643 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
2928ixpeq2dva 7786 . . . 4 (𝜑X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
3029eqcomd 2615 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) = X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
31 eqidd 2610 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) = X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
32 nnn0 38333 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
34 ixpiin 7797 . . . 4 (ℕ ≠ ∅ → X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
3533, 34syl 17 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
3630, 31, 353eqtr3d 2651 . 2 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
37 iccvonmbllem.s . . . 4 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
383, 37dmovnsal 39299 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
39 nnct 12597 . . . 4 ℕ ≼ ω
4039a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
41 eqid 2609 . . . . . . 7 (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))
4212, 41fmptd 6277 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
43 ressxr 9939 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ⊆ ℝ*)
4542, 44fssd 5956 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*)
466feq1d 5929 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ* ↔ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*))
4745, 46mpbird 245 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ*)
48 eqid 2609 . . . . . . 7 (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))
4922, 48fmptd 6277 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
5049, 44fssd 5956 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*)
5118feq1d 5929 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛):𝑋⟶ℝ* ↔ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*))
5250, 51mpbird 245 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛):𝑋⟶ℝ*)
534, 37, 47, 52ioovonmbl 39365 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) ∈ 𝑆)
5438, 40, 33, 53saliincl 39018 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) ∈ 𝑆)
5536, 54eqeltrd 2687 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  wss 3539  c0 3873   ciin 4450   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5028  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  ωcom 6934  Xcixp 7771  cdom 7816  Fincfn 7818  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795  *cxr 9929  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  (,)cioo 12002  [,]cicc 12005  volncvoln 39225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-ac2 9145  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-ac 8799  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-prod 14421  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-prds 15877  df-pws 15879  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-rnghom 18484  df-drng 18518  df-field 18519  df-subrg 18547  df-abv 18586  df-staf 18614  df-srng 18615  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lmhm 18789  df-lvec 18870  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-refld 19715  df-phl 19735  df-dsmm 19837  df-frlm 19852  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cmp 20942  df-xms 21876  df-ms 21877  df-nm 22138  df-ngp 22139  df-tng 22140  df-nrg 22141  df-nlm 22142  df-clm 22602  df-cph 22700  df-tch 22701  df-rrx 22898  df-ovol 22957  df-vol 22958  df-salg 39002  df-sumge0 39053  df-mea 39140  df-ome 39177  df-caragen 39179  df-ovoln 39224  df-voln 39226
This theorem is referenced by:  iccvonmbl  39367
  Copyright terms: Public domain W3C validator