MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbf 23337
Description: The predicate "𝐹 is a measurable function". A function is measurable iff the preimages of all open intervals are measurable sets in the sense of ismbl 23234. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbf (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ismbf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 23335 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2 fdm 6018 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
32eleq1d 2683 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
41, 3syl5ib 234 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn → 𝐴 ∈ dom vol))
5 ioomax 12206 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
6 ioorebas 12233 . . . . 5 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
75, 6eqeltrri 2695 . . . 4 ℝ ∈ ran (,)
8 imaeq2 5431 . . . . . 6 (𝑥 = ℝ → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ ℝ))
98eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑥 = ℝ → ((𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
109rspcv 3295 . . . 4 (ℝ ∈ ran (,) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
117, 10ax-mp 5 . . 3 (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
12 fimacnv 6313 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
1312eleq1d 2683 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → ((𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
1411, 13syl5ib 234 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol))
15 ffvelrn 6323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1615adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1716rered 13914 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
1817mpteq2dva 4714 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
1916recnd 10028 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
20 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2120feqmptd 6216 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
22 ref 13802 . . . . . . . . . . . . . 14 ℜ:ℂ⟶ℝ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
2423feqmptd 6216 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
25 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘(𝐹𝑥)))
2619, 21, 24, 25fmptco 6362 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))))
2718, 26, 213eqtr4rd 2666 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (ℜ ∘ 𝐹))
2827cnveqd 5268 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (ℜ ∘ 𝐹))
2928imaeq1d 5434 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝑥) = ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥))
3029eleq1d 2683 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
31 imf 13803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℑ:ℂ⟶ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
3332feqmptd 6216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
34 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝐹𝑥)))
3519, 21, 33, 34fmptco 6362 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))))
3616reim0d 13915 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐹𝑥)) = 0)
3736mpteq2dva 4714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
3835, 37eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
39 fconstmpt 5133 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 × {0}) = (𝑥𝐴 ↦ 0)
4038, 39syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝐴 × {0}))
4140cnveqd 5268 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝐴 × {0}))
4241imaeq1d 5434 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = ((𝐴 × {0}) “ 𝑥))
43 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
44 0re 10000 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
45 mbfconstlem 23336 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4643, 44, 45sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4742, 46eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4847biantrud 528 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
4930, 48bitrd 268 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
5049ralbidv 2982 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
51 ax-resscn 9953 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
52 fss 6023 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5351, 52mpan2 706 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
54 mblss 23239 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
55 cnex 9977 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
56 reex 9987 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
57 elpm2r 7835 . . . . . . . 8 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5855, 56, 57mpanl12 717 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5953, 54, 58syl2an 494 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6059biantrurd 529 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
6150, 60bitrd 268 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
62 ismbf1 23333 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
6361, 62syl6rbbr 279 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
6463ex 450 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol)))
654, 14, 64pm5.21ndd 369 1 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  Vcvv 3190  wss 3560  {csn 4155  cmpt 4683   × cxp 5082  ccnv 5083  dom cdm 5084  ran crn 5085  cima 5087  ccom 5088  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  pm cpm 7818  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  +∞cpnf 10031  -∞cmnf 10032  (,)cioo 12133  cre 13787  cim 13788  volcvol 23172  MblFncmbf 23323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xadd 11907  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-xmet 19679  df-met 19680  df-ovol 23173  df-vol 23174  df-mbf 23328
This theorem is referenced by:  ismbfcn  23338  mbfima  23339  mbfid  23343  ismbfd  23347  mbfeqalem  23349  mbfres2  23352  mbfimaopnlem  23362  i1fd  23388  elmbfmvol2  30152  cnambfre  33129  mbf0  39510
  Copyright terms: Public domain W3C validator