Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  31prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 31prm 42022
Description: 31 is a prime number. In contrast to 37prm 16030, the proof of this theorem is not based on the "blanket" prmlem2 16029, but on isprm7 15622. Although the checks for non-divisibility by the primes 7 to 23 are not needed, the proof is much longer (regarding size) than the proof of 37prm 16030 (1810 characters compared with 1213 for 37prm 16030). The number of essential steps, however, is much smaller (138 compared with 213 for 37prm 16030). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
31prm 31 ∈ ℙ

Proof of Theorem 31prm
StepHypRef Expression
1 2z 11601 . . 3 2 ∈ ℤ
2 3nn0 11502 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 1nn0 11500 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11704 . . . 4 31 ∈ ℕ0
54nn0zi 11594 . . 3 31 ∈ ℤ
6 3nn 11378 . . . 4 3 ∈ ℕ
7 2nn0 11501 . . . 4 2 ∈ ℕ0
8 2re 11282 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 9re 11299 . . . . 5 9 ∈ ℝ
10 2lt9 11420 . . . . 5 2 < 9
118, 9, 10ltleii 10352 . . . 4 2 ≤ 9
126, 3, 7, 11declei 11734 . . 3 2 ≤ 31
13 eluz2 11885 . . 3 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
141, 5, 12, 13mpbir3an 1427 . 2 31 ∈ (ℤ‘2)
15 elun 3896 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) ↔ (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)))
16 elin 3939 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
17 vex 3343 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ∈ V
1817elpr 4343 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {2, 3} ↔ (𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3))
19 0nn0 11499 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
20 2cn 11283 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
2120mul02i 10417 . . . . . . . . . . . . 13 (0 · 2) = 0
22 1e0p1 11744 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
232, 19, 21, 22dec2dvds 15969 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 2 ∥ 31
24 breq1 4807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 2 → (𝑛31 ↔ 2 ∥ 31))
2523, 24mtbiri 316 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 2 → ¬ 𝑛31)
26 3ndvds4 42020 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 3 ∥ 4
272, 33dvdsdec 15256 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ (3 + 1))
28 3p1e4 11345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
2928breq2i 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ (3 + 1) ↔ 3 ∥ 4)
3027, 29bitri 264 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ 4)
3126, 30mtbir 312 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 3 ∥ 31
32 breq1 4807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 3 → (𝑛31 ↔ 3 ∥ 31))
3331, 32mtbiri 316 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 3 → ¬ 𝑛31)
3425, 33jaoi 393 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3) → ¬ 𝑛31)
3518, 34sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {2, 3} → ¬ 𝑛31)
3635adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
3716, 36sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
38 elin 3939 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
3917elpr 4343 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {4, 5} ↔ (𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5))
40 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
41 4nprm 15609 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 4 ∈ ℙ
4241pm2.21i 116 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31)
4340, 42syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
44 1nn 11223 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
45 1lt5 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 5
462, 44, 45dec5dvds 15970 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 5 ∥ 31
47 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 5 → (𝑛31 ↔ 5 ∥ 31))
4846, 47mtbiri 316 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 5 → ¬ 𝑛31)
4948a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 5 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5043, 49jaoi 393 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5) → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5139, 50sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {4, 5} → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5251imp 444 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5338, 52sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5437, 53jaoi 393 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
5515, 54sylbi 207 . . . . 5 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
56 indir 4018 . . . . 5 (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ))
5755, 56eleq2s 2857 . . . 4 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
58 5nn0 11504 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
59 5re 11291 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
60 5lt9 11417 . . . . . . . . . 10 5 < 9
6159, 9, 60ltleii 10352 . . . . . . . . 9 5 ≤ 9
62 2lt3 11387 . . . . . . . . 9 2 < 3
637, 2, 58, 3, 61, 62decleh 11733 . . . . . . . 8 25 ≤ 31
64 6nn 11381 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
65 1lt6 11400 . . . . . . . . 9 1 < 6
662, 3, 64, 65declt 11722 . . . . . . . 8 31 < 36
674nn0rei 11495 . . . . . . . . . 10 31 ∈ ℝ
68 0re 10232 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
69 9pos 11314 . . . . . . . . . . . 12 0 < 9
7068, 9, 69ltleii 10352 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 9
716, 3, 19, 70declei 11734 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 31
7267, 71pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31)
73 flsqrt5 42019 . . . . . . . . . 10 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((25 ≤ 31 ∧ 31 < 36) ↔ (⌊‘(√‘31)) = 5))
7473bicomd 213 . . . . . . . . 9 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36)))
7572, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36))
7663, 66, 75mpbir2an 993 . . . . . . 7 (⌊‘(√‘31)) = 5
7776oveq2i 6824 . . . . . 6 (2...(⌊‘(√‘31))) = (2...5)
78 5nn 11380 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ
7978nnzi 11593 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℤ
80 3z 11602 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
811, 79, 803pm3.2i 1424 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
82 3re 11286 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
838, 82, 62ltleii 10352 . . . . . . . . 9 2 ≤ 3
84 3lt5 11393 . . . . . . . . . 10 3 < 5
8582, 59, 84ltleii 10352 . . . . . . . . 9 3 ≤ 5
8683, 85pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)
87 elfz2 12526 . . . . . . . 8 (3 ∈ (2...5) ↔ ((2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)))
8881, 86, 87mpbir2an 993 . . . . . . 7 3 ∈ (2...5)
89 fzsplit 12560 . . . . . . 7 (3 ∈ (2...5) → (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . 6 (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5))
91 df-3 11272 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
9291oveq2i 6824 . . . . . . . 8 (2...3) = (2...(2 + 1))
93 fzpr 12589 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
941, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
95 2p1e3 11343 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
9695preq2i 4416 . . . . . . . 8 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
9792, 94, 963eqtri 2786 . . . . . . 7 (2...3) = {2, 3}
9828oveq1i 6823 . . . . . . . 8 ((3 + 1)...5) = (4...5)
99 df-5 11274 . . . . . . . . 9 5 = (4 + 1)
10099oveq2i 6824 . . . . . . . 8 (4...5) = (4...(4 + 1))
101 4z 11603 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℤ
102 fzpr 12589 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℤ → (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)})
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)}
104 4p1e5 11346 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
105104preq2i 4416 . . . . . . . . 9 {4, (4 + 1)} = {4, 5}
106103, 105eqtri 2782 . . . . . . . 8 (4...(4 + 1)) = {4, 5}
10798, 100, 1063eqtri 2786 . . . . . . 7 ((3 + 1)...5) = {4, 5}
10897, 107uneq12i 3908 . . . . . 6 ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
10977, 90, 1083eqtri 2786 . . . . 5 (2...(⌊‘(√‘31))) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
110109ineq1i 3953 . . . 4 ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ)
11157, 110eleq2s 2857 . . 3 (𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
112111rgen 3060 . 2 𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31
113 isprm7 15622 . 2 (31 ∈ ℙ ↔ (31 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31))
11414, 112, 113mpbir2an 993 1 31 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  cun 3713  cin 3714  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  cle 10267  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  5c5 11265  6c6 11266  9c9 11269  cz 11569  cdc 11685  cuz 11879  ...cfz 12519  cfl 12785  csqrt 14172  cdvds 15182  cprime 15587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-prm 15588
This theorem is referenced by:  m5prm  42023
  Copyright terms: Public domain W3C validator