Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  31prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 31prm 40808
Description: 31 is a prime number. In contrast to 37prm 15752, the proof of this theorem is not based on the "blanket" prmlem2 15751, but on isprm7 15344. Although the checks for non-divisibility by the primes 7 to 23 are not needed, the proof is much longer (regarding size) than the proof of 37prm 15752 (1810 characters compared with 1213 for 37prm 15752). The number of essential steps, however, is much smaller (138 compared with 213 for 37prm 15752). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
31prm 31 ∈ ℙ

Proof of Theorem 31prm
StepHypRef Expression
1 2z 11353 . . 3 2 ∈ ℤ
2 3nn0 11254 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 1nn0 11252 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11456 . . . 4 31 ∈ ℕ0
54nn0zi 11346 . . 3 31 ∈ ℤ
6 3nn 11130 . . . 4 3 ∈ ℕ
7 2nn0 11253 . . . 4 2 ∈ ℕ0
8 2re 11034 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 9re 11051 . . . . 5 9 ∈ ℝ
10 2lt9 11172 . . . . 5 2 < 9
118, 9, 10ltleii 10104 . . . 4 2 ≤ 9
126, 3, 7, 11declei 11486 . . 3 2 ≤ 31
13 eluz2 11637 . . 3 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
141, 5, 12, 13mpbir3an 1242 . 2 31 ∈ (ℤ‘2)
15 elun 3731 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) ↔ (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)))
16 elin 3774 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
17 vex 3189 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ∈ V
1817elpr 4169 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {2, 3} ↔ (𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3))
19 0nn0 11251 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
20 2cn 11035 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
2120mul02i 10169 . . . . . . . . . . . . 13 (0 · 2) = 0
22 1e0p1 11496 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
232, 19, 21, 22dec2dvds 15691 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 2 ∥ 31
24 breq1 4616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 2 → (𝑛31 ↔ 2 ∥ 31))
2523, 24mtbiri 317 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 2 → ¬ 𝑛31)
26 3ndvds4 40806 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 3 ∥ 4
272, 33dvdsdec 14978 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ (3 + 1))
28 3p1e4 11097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
2928breq2i 4621 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ (3 + 1) ↔ 3 ∥ 4)
3027, 29bitri 264 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ 4)
3126, 30mtbir 313 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 3 ∥ 31
32 breq1 4616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 3 → (𝑛31 ↔ 3 ∥ 31))
3331, 32mtbiri 317 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 3 → ¬ 𝑛31)
3425, 33jaoi 394 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3) → ¬ 𝑛31)
3518, 34sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {2, 3} → ¬ 𝑛31)
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
3716, 36sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
38 elin 3774 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
3917elpr 4169 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {4, 5} ↔ (𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5))
40 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
41 4nprm 15331 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 4 ∈ ℙ
4241pm2.21i 116 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31)
4340, 42syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
44 1nn 10975 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
45 1lt5 11147 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 5
462, 44, 45dec5dvds 15692 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 5 ∥ 31
47 breq1 4616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 5 → (𝑛31 ↔ 5 ∥ 31))
4846, 47mtbiri 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 5 → ¬ 𝑛31)
4948a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 5 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5043, 49jaoi 394 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5) → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5139, 50sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {4, 5} → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5251imp 445 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5338, 52sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5437, 53jaoi 394 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
5515, 54sylbi 207 . . . . 5 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
56 indir 3851 . . . . 5 (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ))
5755, 56eleq2s 2716 . . . 4 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
58 5nn0 11256 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
59 5re 11043 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
60 5lt9 11169 . . . . . . . . . 10 5 < 9
6159, 9, 60ltleii 10104 . . . . . . . . 9 5 ≤ 9
62 2lt3 11139 . . . . . . . . 9 2 < 3
637, 2, 58, 3, 61, 62decleh 11485 . . . . . . . 8 25 ≤ 31
64 6nn 11133 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
65 1lt6 11152 . . . . . . . . 9 1 < 6
662, 3, 64, 65declt 11474 . . . . . . . 8 31 < 36
674nn0rei 11247 . . . . . . . . . 10 31 ∈ ℝ
68 0re 9984 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
69 9pos 11066 . . . . . . . . . . . 12 0 < 9
7068, 9, 69ltleii 10104 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 9
716, 3, 19, 70declei 11486 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 31
7267, 71pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31)
73 flsqrt5 40805 . . . . . . . . . 10 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((25 ≤ 31 ∧ 31 < 36) ↔ (⌊‘(√‘31)) = 5))
7473bicomd 213 . . . . . . . . 9 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36)))
7572, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36))
7663, 66, 75mpbir2an 954 . . . . . . 7 (⌊‘(√‘31)) = 5
7776oveq2i 6615 . . . . . 6 (2...(⌊‘(√‘31))) = (2...5)
78 5nn 11132 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ
7978nnzi 11345 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℤ
80 3z 11354 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
811, 79, 803pm3.2i 1237 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
82 3re 11038 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
838, 82, 62ltleii 10104 . . . . . . . . 9 2 ≤ 3
84 3lt5 11145 . . . . . . . . . 10 3 < 5
8582, 59, 84ltleii 10104 . . . . . . . . 9 3 ≤ 5
8683, 85pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)
87 elfz2 12275 . . . . . . . 8 (3 ∈ (2...5) ↔ ((2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)))
8881, 86, 87mpbir2an 954 . . . . . . 7 3 ∈ (2...5)
89 fzsplit 12309 . . . . . . 7 (3 ∈ (2...5) → (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . 6 (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5))
91 df-3 11024 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
9291oveq2i 6615 . . . . . . . 8 (2...3) = (2...(2 + 1))
93 fzpr 12338 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
941, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
95 2p1e3 11095 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
9695preq2i 4242 . . . . . . . 8 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
9792, 94, 963eqtri 2647 . . . . . . 7 (2...3) = {2, 3}
9828oveq1i 6614 . . . . . . . 8 ((3 + 1)...5) = (4...5)
99 df-5 11026 . . . . . . . . 9 5 = (4 + 1)
10099oveq2i 6615 . . . . . . . 8 (4...5) = (4...(4 + 1))
101 4z 11355 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℤ
102 fzpr 12338 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℤ → (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)})
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)}
104 4p1e5 11098 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
105104preq2i 4242 . . . . . . . . 9 {4, (4 + 1)} = {4, 5}
106103, 105eqtri 2643 . . . . . . . 8 (4...(4 + 1)) = {4, 5}
10798, 100, 1063eqtri 2647 . . . . . . 7 ((3 + 1)...5) = {4, 5}
10897, 107uneq12i 3743 . . . . . 6 ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
10977, 90, 1083eqtri 2647 . . . . 5 (2...(⌊‘(√‘31))) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
110109ineq1i 3788 . . . 4 ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ)
11157, 110eleq2s 2716 . . 3 (𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
112111rgen 2917 . 2 𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31
113 isprm7 15344 . 2 (31 ∈ ℙ ↔ (31 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31))
11414, 112, 113mpbir2an 954 1 31 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cun 3553  cin 3554  {cpr 4150   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  9c9 11021  cz 11321  cdc 11437  cuz 11631  ...cfz 12268  cfl 12531  csqrt 13907  cdvds 14907  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310
This theorem is referenced by:  m5prm  40809
  Copyright terms: Public domain W3C validator