MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplind 19416
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplind.sk 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplind.sv 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplind.sy 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplind.sp + = (+g𝑌)
mplind.st · = (.r𝑌)
mplind.sc 𝐶 = (algSc‘𝑌)
mplind.sb 𝐵 = (Base‘𝑌)
mplind.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.t ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.s ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
mplind.v ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) ∈ 𝐻)
mplind.x (𝜑𝑋𝐵)
mplind.i (𝜑𝐼 ∈ V)
mplind.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
mplind (𝜑𝑋𝐻)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mplind
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3816 . 2 (𝐻𝐵) ⊆ 𝐻
2 eqid 2626 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3 mplind.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
4 mplind.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
52, 3, 4psrassa 19328 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg)
6 inss2 3817 . . . . . 6 (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵
7 mplind.sy . . . . . . . 8 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8 mplind.sb . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
9 crngring 18474 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
104, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
112, 7, 8, 3, 10mplsubrg 19354 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12 eqid 2626 . . . . . . . 8 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
1312subrgss 18697 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
1411, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
156, 14syl5ss 3599 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐵) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
16 mplind.sv . . . . . . . . 9 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
177, 16, 8, 3, 10mvrf2 19406 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
18 ffn 6004 . . . . . . . 8 (𝑉:𝐼𝐵𝑉 Fn 𝐼)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 Fn 𝐼)
20 mplind.v . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) ∈ 𝐻)
2120ralrimiva 2965 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝑉𝑥) ∈ 𝐻)
22 fnfvrnss 6346 . . . . . . 7 ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑉𝑥) ∈ 𝐻) → ran 𝑉𝐻)
2319, 21, 22syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑉𝐻)
24 frn 6012 . . . . . . 7 (𝑉:𝐼𝐵 → ran 𝑉𝐵)
2517, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑉𝐵)
2623, 25ssind 3820 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ (𝐻𝐵))
27 eqid 2626 . . . . . 6 (AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2827, 12aspss 19246 . . . . 5 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻𝐵) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ ran 𝑉 ⊆ (𝐻𝐵)) → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) ⊆ ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)))
295, 15, 26, 28syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) ⊆ ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)))
307, 2, 16, 27, 3, 4mplbas2 19384 . . . . 5 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) = (Base‘𝑌))
3130, 8syl6eqr 2678 . . . 4 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) = 𝐵)
326a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵)
337mplassa 19368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ AssAlg)
343, 4, 33syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ AssAlg)
35 mplind.sc . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶 = (algSc‘𝑌)
36 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
3735, 36asclrhm 19256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ AssAlg → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌))
3834, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌))
39 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . 13 (1r‘(Scalar‘𝑌)) = (1r‘(Scalar‘𝑌))
40 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑌) = (1r𝑌)
4139, 40rhm1 18646 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌) → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) = (1r𝑌))
4238, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) = (1r𝑌))
437, 3, 4mplsca 19359 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑌))
4443, 10eqeltrrd 2705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ Ring)
45 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
4645, 39ringidcl 18484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Scalar‘𝑌) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
4744, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
48 mplind.sk . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (Base‘𝑅)
4943fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
5048, 49syl5eq 2672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
5147, 50eleqtrrd 2707 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ 𝐾)
52 mplind.s . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
5352ralrimiva 2965 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐾 (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
54 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑌)) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))))
5554eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑌)) → ((𝐶𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻))
5655rspcva 3298 . . . . . . . . . . . 12 (((1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐶𝑥) ∈ 𝐻) → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻)
5751, 53, 56syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻)
5842, 57eqeltrrd 2705 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ 𝐻)
59 assaring 19234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ AssAlg → 𝑌 ∈ Ring)
6034, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
618, 40ringidcl 18484 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ 𝐵)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ 𝐵)
6358, 62elind 3781 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ (𝐻𝐵))
64 ne0i 3902 . . . . . . . . 9 ((1r𝑌) ∈ (𝐻𝐵) → (𝐻𝐵) ≠ ∅)
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝐵) ≠ ∅)
661sseli 3584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑧𝐻)
671sseli 3584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑤𝐻)
6866, 67anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵)) → (𝑧𝐻𝑤𝐻))
69 mplind.p . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
7069caovclg 6780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐻𝑤𝐻)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐻)
7168, 70sylan2 491 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐻)
72 assalmod 19233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌 ∈ AssAlg → 𝑌 ∈ LMod)
7334, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ LMod)
74 lmodgrp 18786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Grp)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
7675adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ Grp)
77 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐻𝐵))
786, 77sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧𝐵)
79 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))
806, 79sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤𝐵)
81 mplind.sp . . . . . . . . . . . . . . 15 + = (+g𝑌)
828, 81grpcl 17346 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑧𝐵𝑤𝐵) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐵)
8376, 78, 80, 82syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐵)
8471, 83elind 3781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
8584anassrs 679 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
8685ralrimiva 2965 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
87 mplind.st . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r𝑌)
88 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝑌) = (invg𝑌)
8960adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
90 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐻𝐵))
916, 90sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑧𝐵)
928, 87, 40, 88, 89, 91ringnegl 18510 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) · 𝑧) = ((invg𝑌)‘𝑧))
93 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝜑)
94 rhmghm 18641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌) → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌))
9538, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌))
96 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (invg‘(Scalar‘𝑌)) = (invg‘(Scalar‘𝑌))
9745, 96, 88ghminv 17583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
9895, 47, 97syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
9942fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((invg𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(1r𝑌)))
10098, 99eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(1r𝑌)))
101 ringgrp 18468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Scalar‘𝑌) ∈ Ring → (Scalar‘𝑌) ∈ Grp)
10244, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ Grp)
10345, 96grpinvcl 17383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((Scalar‘𝑌) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
104102, 47, 103syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
105104, 50eleqtrrd 2707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐾)
106 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
107106eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) → ((𝐶𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻))
108107rspcva 3298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐶𝑥) ∈ 𝐻) → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻)
109105, 53, 108syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻)
110100, 109eqeltrrd 2705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((invg𝑌)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐻)
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐻)
1121, 90sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑧𝐻)
113 mplind.t . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
114113caovclg 6780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐻𝑧𝐻)) → (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
11593, 111, 112, 114syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
11692, 115eqeltrrd 2705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐻)
11775adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑌 ∈ Grp)
1188, 88grpinvcl 17383 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑧𝐵) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐵)
119117, 91, 118syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐵)
120116, 119elind 3781 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵))
12186, 120jca 554 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → (∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))
122121ralrimiva 2965 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐻𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))
1238, 81, 88issubg2 17525 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Grp → ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐻𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))))
12475, 123syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐻𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))))
12532, 65, 122, 124mpbir3and 1243 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌))
1261sseli 3584 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑥𝐻)
1271sseli 3584 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑦𝐻)
128126, 127anim12i 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵)) → (𝑥𝐻𝑦𝐻))
129128, 113sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
13060adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ Ring)
131 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐻𝐵))
1326, 131sseldi 3586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑥𝐵)
133 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))
1346, 133sseldi 3586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑦𝐵)
1358, 87ringcl 18477 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
136130, 132, 134, 135syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
137129, 136elind 3781 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))
138137ralrimivva 2970 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐻𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))
1398, 40, 87issubrg2 18716 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (1r𝑌) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))))
14060, 139syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (1r𝑌) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))))
141125, 63, 138, 140mpbir3and 1243 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌))
1427, 2, 8mplval2 19345 . . . . . . . 8 𝑌 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
143142subsubrg 18722 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵)))
144143simprbda 652 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌)) → (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14511, 141, 144syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
146 assalmod 19233 . . . . . . 7 ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
1475, 146syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
1482, 7, 8, 3, 10mpllss 19352 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14934adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ AssAlg)
150 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
151 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))
1526, 151sseldi 3586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤𝐵)
153 eqid 2626 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
15435, 36, 45, 8, 87, 153asclmul1 19253 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ AssAlg ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤𝐵) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤))
155149, 150, 152, 154syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤))
15650adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
157150, 156eleqtrrd 2707 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧𝐾)
15853adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ∀𝑥𝐾 (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
159 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑧))
160159eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐶𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶𝑧) ∈ 𝐻))
161160rspcva 3298 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐶𝑥) ∈ 𝐻) → (𝐶𝑧) ∈ 𝐻)
162157, 158, 161syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝐶𝑧) ∈ 𝐻)
1631, 151sseldi 3586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤𝐻)
164162, 163jca 554 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ((𝐶𝑧) ∈ 𝐻𝑤𝐻))
165113caovclg 6780 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐶𝑧) ∈ 𝐻𝑤𝐻)) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) ∈ 𝐻)
166164, 165syldan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) ∈ 𝐻)
167155, 166eqeltrrd 2705 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ 𝐻)
16873adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ LMod)
1698, 36, 153, 45lmodvscl 18796 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ 𝐵)
170168, 150, 152, 169syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ 𝐵)
171167, 170elind 3781 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
172171ralrimivva 2970 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
173 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑌) = (LSubSp‘𝑌)
17436, 45, 8, 153, 173islss4 18876 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ LMod → ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))))
17573, 174syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))))
176125, 172, 175mpbir2and 956 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌))
177 eqid 2626 . . . . . . . 8 (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
178142, 177, 173lsslss 18875 . . . . . . 7 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵)))
179178simprbda 652 . . . . . 6 ((((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
180147, 148, 176, 179syl21anc 1322 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
18127, 12, 177aspid 19244 . . . . 5 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)) = (𝐻𝐵))
1825, 145, 180, 181syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)) = (𝐻𝐵))
18329, 31, 1823sstr3d 3631 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (𝐻𝐵))
184 mplind.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
185183, 184sseldd 3589 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝐵))
1861, 185sseldi 3586 1 (𝜑𝑋𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  Vcvv 3191  cin 3559  wss 3560  c0 3896  ran crn 5080   Fn wfn 5845  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  .rcmulr 15858  Scalarcsca 15860   ·𝑠 cvsca 15861  Grpcgrp 17338  invgcminusg 17339  SubGrpcsubg 17504   GrpHom cghm 17573  1rcur 18417  Ringcrg 18463  CRingccrg 18464   RingHom crh 18628  SubRingcsubrg 18692  LModclmod 18779  LSubSpclss 18846  AssAlgcasa 19223  AlgSpancasp 19224  algSccascl 19225   mPwSer cmps 19265   mVar cmvr 19266   mPoly cmpl 19267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-ofr 6852  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-tset 15876  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-srg 18422  df-ring 18465  df-cring 18466  df-rnghom 18631  df-subrg 18694  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-assa 19226  df-asp 19227  df-ascl 19228  df-psr 19270  df-mvr 19271  df-mpl 19272
This theorem is referenced by:  mpfind  19450
  Copyright terms: Public domain W3C validator