Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnorec3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnorec3 41785
 Description: The third recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnorec3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem fmtnorec3
StepHypRef Expression
1 fzfid 12812 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0...(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
2 elfznn0 12471 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3 fmtnonn 41768 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
54nncnd 11074 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
65adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
71, 6fprodcl 14726 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
8 2cn 11129 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
98a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
10 uznn0sub 11757 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
11 fmtnorec2 41780 . . . . . . 7 ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
1312eqcomd 2657 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2) = (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)))
147, 9, 13mvlraddd 10482 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) = ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))
1514oveq2d 6706 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)))
1615oveq2d 6706 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))))
17 2nn0 11347 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
19 eluz2nn 11764 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
20 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2218, 21nn0expcld 13071 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
2318, 22nn0expcld 13071 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0)
2423nn0cnd 11391 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25 peano2nn0 11371 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0)
2610, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0)
27 fmtnonn 41768 . . . . . . 7 (((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
2928nncnd 11074 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℂ)
3024, 29, 9subdid 10524 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
31 eluzelcn 11737 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
32 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
34 subsub 10349 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
3534eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
3631, 9, 33, 35syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
37 2m1e1 11173 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
3837oveq2i 6701 . . . . . . . 8 (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
3936, 38syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
4039fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
4140oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
4241oveq1d 6705 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
4330, 42eqtrd 2685 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
4443oveq2d 6706 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
45 fmtnonn 41768 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
4621, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
4746nncnd 11074 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
4847mulid2d 10096 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
4948eqcomd 2657 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
5049oveq1d 6705 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
5133, 24, 47adddird 10103 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
5233, 24addcomd 10276 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
53 fmtno 41766 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
5421, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
5552, 54eqtr4d 2688 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
5655oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
5747sqvald 13045 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
5856, 57eqtr4d 2688 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
5950, 51, 583eqtr2d 2691 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
6059oveq1d 6705 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
6124, 47mulcld 10098 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
6224, 9mulcld 10098 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2) ∈ ℂ)
6347, 61, 62addsubassd 10450 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
64 npcan1 10493 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6531, 64syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6665eqcomd 2657 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6766fveq2d 6233 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)))
68 fmtnorec1 41774 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
6921, 68syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
70 binom2sub1 13022 . . . . . . 7 ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
7147, 70syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
7271oveq1d 6705 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1))
7346nnsqcld 13069 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℕ)
7473nncnd 11074 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℂ)
759, 47mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
7674, 75subcld 10430 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
7776, 33, 33addassd 10100 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)))
78322timesi 11185 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = (1 + 1)
7978eqcomi 2660 . . . . . . . 8 (1 + 1) = (2 · 1)
8079a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) = (2 · 1))
8180oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
8277, 81eqtrd 2685 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
838, 32mulcli 10083 . . . . . . . 8 (2 · 1) ∈ ℂ
8483a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 1) ∈ ℂ)
8574, 75, 84subadd23d 10452 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
869, 33, 47subdid 10524 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
8786eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
8887oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
8933, 47subcld 10430 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
909, 89mulneg2d 10522 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
9133, 47negsubdi2d 10446 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1))
92 fmtnom1nn 41769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
9321, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
9491, 93eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
9594oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
9690, 95eqtr3d 2687 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
9796oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
989, 89mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
9974, 98subnegd 10437 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
1009, 24mulcomd 10099 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
101100oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
10297, 99, 1013eqtr3d 2693 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
10385, 88, 1023eqtrd 2689 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
10472, 82, 1033eqtrd 2689 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
10567, 69, 1043eqtrrd 2690 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (FermatNo‘𝑁))
10660, 63, 1053eqtr3d 2693 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))) = (FermatNo‘𝑁))
10716, 44, 1063eqtrrd 2690 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304  -cneg 10305  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364  ↑cexp 12900  ∏cprod 14679  FermatNocfmtno 41764 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680  df-fmtno 41765 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator