MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscxpbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abscxpbnd 24411
Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscxpbnd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
abscxpbnd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
abscxpbnd.3 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
abscxpbnd.4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abscxpbnd.5 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
abscxpbnd (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))

Proof of Theorem abscxpbnd
StepHypRef Expression
1 1le1 10607 . . . . 5 1 ≤ 1
21a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 1 ≤ 1)
3 oveq12 6619 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
43adantll 749 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
5 0cn 9984 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
6 cxp0 24333 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → (0↑𝑐0) = 1)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (0↑𝑐0) = 1
84, 7syl6eq 2671 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 1)
98fveq2d 6157 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = (abs‘1))
10 abs1 13979 . . . . 5 (abs‘1) = 1
119, 10syl6eq 2671 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = 1)
12 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 0 → (ℜ‘𝐵) = (ℜ‘0))
13 re0 13834 . . . . . . . . 9 (ℜ‘0) = 0
1412, 13syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (ℜ‘𝐵) = 0)
1514oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) = (𝑀𝑐0))
16 abscxpbnd.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1716recnd 10020 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1817cxp0d 24368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝑐0) = 1)
1918adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝑀𝑐0) = 1)
2015, 19sylan9eqr 2677 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) = 1)
21 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
2221abs00bd 13973 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘𝐵) = 0)
2322oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((abs‘𝐵) · π) = (0 · π))
24 picn 24132 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
2524mul02i 10177 . . . . . . . . 9 (0 · π) = 0
2623, 25syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((abs‘𝐵) · π) = 0)
2726fveq2d 6157 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) = (exp‘0))
28 ef0 14757 . . . . . . 7 (exp‘0) = 1
2927, 28syl6eq 2671 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) = 1)
3020, 29oveq12d 6628 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))) = (1 · 1))
31 1t1e1 11127 . . . . 5 (1 · 1) = 1
3230, 31syl6eq 2671 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))) = 1)
332, 11, 323brtr4d 4650 . . 3 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
34 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 = 0)
3534oveq1d 6625 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
36 abscxpbnd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3736adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
38 0cxp 24329 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
3937, 38sylan 488 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
4035, 39eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 0)
4140abs00bd 13973 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = 0)
42 0red 9993 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43 abscxpbnd.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4443abscld 14117 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4543absge0d 14125 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
46 abscxpbnd.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑀)
4742, 44, 16, 45, 46letrd 10146 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
4836recld 13876 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
4916, 47, 48recxpcld 24386 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
5049ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
5136abscld 14117 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
5251ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
53 pire 24131 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
54 remulcl 9973 . . . . . . 7 (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
5552, 53, 54sylancl 693 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
5655reefcld 14754 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ)
5716, 47, 48cxpge0d 24387 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
5857ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
5955rpefcld 14771 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ+)
6059rpge0d 11828 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π)))
6150, 56, 58, 60mulge0d 10556 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
6241, 61eqbrtrd 4640 . . 3 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
6333, 62pm2.61dane 2877 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
6443adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
65 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
6636adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6764, 65, 66cxpefd 24375 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
6867fveq2d 6157 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
69 logcl 24236 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7043, 69sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7166, 70mulcld 10012 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
72 absef 14863 . . . . 5 ((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
7371, 72syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
7466recld 13876 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
7570recld 13876 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 10022 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
7776recnd 10020 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
7866imcld 13877 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
7970imcld 13877 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8079renegcld 10409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8178, 80remulcld 10022 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
8281recnd 10020 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
83 efadd 14760 . . . . . 6 ((((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
8477, 82, 83syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
8578, 79remulcld 10022 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
8685recnd 10020 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
8777, 86negsubd 10350 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) − ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
8878recnd 10020 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
8979recnd 10020 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
9088, 89mulneg2d 10436 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) = -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))))
9190oveq2d 6626 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
9266, 70remuld 13900 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) − ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
9387, 91, 923eqtr4d 2665 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
9493fveq2d 6157 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
95 relog 24264 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
9643, 95sylan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
9796oveq2d 6626 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴))))
9897fveq2d 6157 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴)))))
9944recnd 10020 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
10099adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
10143abs00ad 13972 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
102101necon3bid 2834 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
103102biimpar 502 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
10474recnd 10020 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
105100, 103, 104cxpefd 24375 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴)))))
10698, 105eqtr4d 2658 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) = ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)))
107106oveq1d 6625 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
10884, 94, 1073eqtr3d 2663 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
10968, 73, 1083eqtrd 2659 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
11064abscld 14117 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11164absge0d 14125 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
112110, 111, 74recxpcld 24386 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
11381reefcld 14754 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 10022 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ∈ ℝ)
11549adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
116115, 113remulcld 10022 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ∈ ℝ)
11751, 53, 54sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
118117reefcld 14754 . . . . . 6 (𝜑 → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ)
119118adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ)
120115, 119remulcld 10022 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))) ∈ ℝ)
12181rpefcld 14771 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ+)
122121rpge0d 11828 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))))
12316adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
124 abscxpbnd.3 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
125124adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
12646adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑀)
127110, 111, 123, 74, 125, 126cxple2ad 24388 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
128112, 115, 113, 122, 127lemul1ad 10915 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
12957adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
13088abscld 14117 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
13180recnd 10020 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
132131abscld 14117 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
133130, 132remulcld 10022 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
134117adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
13581leabsd 14095 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ (abs‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))))
13688, 131absmuld 14135 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
137135, 136breqtrd 4644 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
13866abscld 14117 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
139138, 132remulcld 10022 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
140131absge0d 14125 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))))
141 absimle 13991 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ≤ (abs‘𝐵))
14266, 141syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ≤ (abs‘𝐵))
143130, 138, 132, 140, 142lemul1ad 10915 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
14453a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → π ∈ ℝ)
14566absge0d 14125 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
14689absnegd 14130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
147 logimcl 24237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
14843, 147sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
149148simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
15053renegcli 10294 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℝ
151 ltle 10078 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
152150, 79, 151sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
153149, 152mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
154148simprd 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
155 absle 13997 . . . . . . . . . . . 12 (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
15679, 53, 155sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
157153, 154, 156mpbir2and 956 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
158146, 157eqbrtrd 4640 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
159132, 144, 138, 145, 158lemul2ad 10916 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
160133, 139, 134, 143, 159letrd 10146 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
16181, 133, 134, 137, 160letrd 10146 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
162 efle 14784 . . . . . . 7 ((((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π) ↔ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
16381, 134, 162syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π) ↔ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
164161, 163mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π)))
165113, 119, 115, 129, 164lemul2ad 10916 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
166114, 116, 120, 128, 165letrd 10146 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
167109, 166eqbrtrd 4640 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
16863, 167pm2.61dane 2877 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218  -cneg 10219  cre 13779  cim 13780  abscabs 13916  expce 14728  πcpi 14733  logclog 24222  𝑐ccxp 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224  df-cxp 24225
This theorem is referenced by:  o1cxp  24618
  Copyright terms: Public domain W3C validator