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Theorem discr 12938
Description: If a quadratic polynomial with real coefficients is nonnegative for all values, then its discriminant is nonpositive. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
discr.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
discr.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
discr.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
discr.4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
discr (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem discr
StepHypRef Expression
1 discr.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 resqcl 12868 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
54recnd 10013 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
6 4re 11042 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
7 discr.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 discr.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
118, 10remulcld 10015 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
12 remulcl 9966 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
136, 11, 12sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
1413recnd 10013 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
15 4pos 11061 . . . . . . . . . 10 0 < 4
166, 15elrpii 11779 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ+
17 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
188, 17elrpd 11813 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
19 rpmulcl 11799 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ+)
2016, 18, 19sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ+)
2120rpcnd 11818 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
2220rpne0d 11821 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ≠ 0)
235, 14, 21, 22divsubdird 10785 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴))))
2411recnd 10013 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
258recnd 10013 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
26 4cn 11043 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 4 ∈ ℂ)
2818rpne0d 11821 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
29 4ne0 11062 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 4 ≠ 0)
3124, 25, 27, 28, 30divcan5d 10772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐶) / 𝐴))
3210recnd 10013 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3332, 25, 28divcan3d 10751 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐶) / 𝐴) = 𝐶)
3431, 33eqtrd 2660 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴)) = 𝐶)
3534oveq2d 6621 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶))
3623, 35eqtrd 2660 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶))
374, 20rerpdivcld 11847 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ∈ ℝ)
3837recnd 10013 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ∈ ℂ)
39382timesd 11220 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))))
40 2t2e4 11122 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 2) = 4
4140oveq1i 6615 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 2) · 𝐴) = (4 · 𝐴)
42 2cnd 11038 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
4342, 42, 25mulassd 10008 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
4441, 43syl5eqr 2674 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
4544oveq2d 6621 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (4 · 𝐴)) = ((2 · (𝐵↑2)) / (2 · (2 · 𝐴))))
4642, 5, 21, 22divassd 10781 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (4 · 𝐴)) = (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))))
47 2rp 11781 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
48 rpmulcl 11799 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
4947, 18, 48sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
5049rpcnd 11818 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
5149rpne0d 11821 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
52 2ne0 11058 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
5352a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 2 ≠ 0)
545, 50, 42, 51, 53divcan5d 10772 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (2 · (2 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
5545, 46, 543eqtr3d 2668 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
5639, 55eqtr3d 2662 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
572, 49rerpdivcld 11847 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
5857renegcld 10402 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → -(𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
59 discr.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
6059ralrimiva 2965 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
6160adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
62 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝑥↑2) = (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
6362oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)))
64 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))))
6563, 64oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))))
6665oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶))
6766breq2d 4630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶)))
6867rspcv 3296 . . . . . . . . . . 11 (-(𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) → 0 ≤ (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶)))
6958, 61, 68sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶))
7057recnd 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
71 sqneg 12860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
732recnd 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
74 sqdiv 12865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0) → ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)))
7573, 50, 51, 74syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)))
76 sqval 12859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
7750, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
7850, 42, 25mulassd 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
7942, 25, 42mul32d 10191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) · 2) = ((2 · 2) · 𝐴))
8079, 41syl6eq 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) · 2) = (4 · 𝐴))
8180oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((4 · 𝐴) · 𝐴))
8277, 78, 813eqtr2d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((4 · 𝐴) · 𝐴))
8382oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
8472, 75, 833eqtrd 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
855, 21, 25, 22, 28divdiv1d 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
8684, 85eqtr4d 2663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴))
8786oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = (𝐴 · (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴)))
8838, 25, 28divcan2d 10748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴)) = ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)))
8987, 88eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)))
9073, 70mulneg2d 10429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = -(𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
91 sqval 12859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
9273, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
9392oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵) / (2 · 𝐴)))
9473, 73, 50, 51divassd 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵 · 𝐵) / (2 · 𝐴)) = (𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
9593, 94eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = (𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
9695negeqd 10220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = -(𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
9790, 96eqtr4d 2663 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
9889, 97oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
994, 49rerpdivcld 11847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
10099recnd 10013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
10138, 100negsubd 10343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
10298, 101eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
103102oveq1d 6620 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
10438, 32, 100addsubd 10358 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
105103, 104eqtr4d 2663 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
10669, 105breqtrd 4644 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
10737, 10readdcld 10014 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) ∈ ℝ)
108107, 99subge0d 10562 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) ↔ ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶)))
109106, 108mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶))
11056, 109eqbrtrd 4640 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶))
11137, 10, 37leadd2d 10567 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶 ↔ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶)))
112110, 111mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶)
11337, 10suble0d 10563 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶) ≤ 0 ↔ ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶))
114112, 113mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶) ≤ 0)
11536, 114eqbrtrd 4640 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) ≤ 0)
1164, 13resubcld 10403 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
117 0red 9986 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
118116, 117, 20ledivmuld 11869 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ ((4 · 𝐴) · 0)))
119115, 118mpbid 222 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ ((4 · 𝐴) · 0))
12021mul01d 10180 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · 𝐴) · 0) = 0)
121119, 120breqtrd 4644 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
1229adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
123122ltp1d 10899 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 < (𝐶 + 1))
124 peano2re 10154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
125122, 124syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
126122, 125ltnegd 10550 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 < (𝐶 + 1) ↔ -(𝐶 + 1) < -𝐶))
127123, 126mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) < -𝐶)
128 df-neg 10214 . . . . . . . . . 10 -𝐶 = (0 − 𝐶)
129127, 128syl6breq 4659 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) < (0 − 𝐶))
130125renegcld 10402 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) ∈ ℝ)
131 0red 9986 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 0 ∈ ℝ)
132130, 122, 131ltaddsubd 10572 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → ((-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0 ↔ -(𝐶 + 1) < (0 − 𝐶)))
133129, 132mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0)
134133expr 642 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
1351adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
136 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
137130, 135, 136redivcld 10798 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
13860adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
139 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝑥↑2) = ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2))
140139oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)))
141 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵)))
142140, 141oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))))
143142oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶))
144143breq2d 4630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶)))
145144rspcv 3296 . . . . . . . . . . 11 ((-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) → 0 ≤ (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶)))
146137, 138, 145sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 0 ≤ (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶))
147 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 0 = 𝐴)
148147oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (0 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)))
149137recnd 10013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℂ)
150 sqcl 12862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℂ → ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
151149, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
152151mul02d 10179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (0 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = 0)
153148, 152eqtr3d 2662 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = 0)
154130recnd 10013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) ∈ ℂ)
155135recnd 10013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
156154, 155, 136divcan2d 10748 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵)) = -(𝐶 + 1))
157153, 156oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) = (0 + -(𝐶 + 1)))
158154addid2d 10182 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (0 + -(𝐶 + 1)) = -(𝐶 + 1))
159157, 158eqtrd 2660 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) = -(𝐶 + 1))
160159oveq1d 6620 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶) = (-(𝐶 + 1) + 𝐶))
161146, 160breqtrd 4644 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → 0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶))
162 0re 9985 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
163130, 122readdcld 10014 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ∈ ℝ)
164 lenlt 10061 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ∈ ℝ) → (0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ↔ ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
165162, 163, 164sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ↔ ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
166161, 165mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴𝐵 ≠ 0)) → ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0)
167166expr 642 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
168134, 167pm2.65d 187 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ¬ 𝐵 ≠ 0)
169 nne 2800 . . . . . 6 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0)
170168, 169sylib 208 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 = 0)
171170sq0id 12894 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵↑2) = 0)
172 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
173172oveq1d 6620 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
1749recnd 10013 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
175174adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
176175mul02d 10179 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · 𝐶) = 0)
177173, 176eqtr3d 2662 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) = 0)
178177oveq2d 6621 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) = (4 · 0))
17926mul01i 10171 . . . . 5 (4 · 0) = 0
180178, 179syl6eq 2676 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) = 0)
181171, 180oveq12d 6623 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) = (0 − 0))
182 0m0e0 11075 . . . 4 (0 − 0) = 0
183 0le0 11055 . . . 4 0 ≤ 0
184182, 183eqbrtri 4639 . . 3 (0 − 0) ≤ 0
185181, 184syl6eqbr 4657 . 2 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
186 eqid 2626 . . . 4 if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)
1877, 1, 9, 59, 186discr1 12937 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
188 leloe 10069 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
189162, 7, 188sylancr 694 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
190187, 189mpbid 222 . 2 (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
191121, 185, 190mpjaodan 826 1 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  ifcif 4063   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211  -cneg 10212   / cdiv 10629  2c2 11015  4c4 11017  +crp 11776  cexp 12797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12739  df-exp 12798
This theorem is referenced by:  csbren  23085  normlem6  27812
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