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Theorem sqwvfoura 40966
Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the 𝐴 coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfoura.t 𝑇 = (2 · π)
sqwvfoura.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
sqwvfoura.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sqwvfoura (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem sqwvfoura
StepHypRef Expression
1 pire 24430 . . . . . 6 π ∈ ℝ
21renegcli 10554 . . . . 5 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
41a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 0re 10252 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 negpilt0 40009 . . . . . . 7 -π < 0
72, 5, 6ltleii 10372 . . . . . 6 -π ≤ 0
8 pipos 24432 . . . . . . 7 0 < π
95, 1, 8ltleii 10372 . . . . . 6 0 ≤ π
102, 1elicc2i 12452 . . . . . 6 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
115, 7, 9, 10mpbir3an 1427 . . . . 5 0 ∈ (-π[,]π)
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (-π[,]π))
13 1red 10267 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
1413renegcld 10669 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
1513, 14ifcld 4275 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
1615adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
17 sqwvfoura.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1816, 17fmptd 6549 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1918adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20 elioore 12418 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2219, 21ffvelrnd 6524 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
23 sqwvfoura.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2423nn0red 11564 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2524adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2625, 21remulcld 10282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
2726recoscld 15093 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
2822, 27remulcld 10282 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℝ)
2928recnd 10280 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ℂ)
30 elioore 12418 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
3130, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
3217fvmpt2 6454 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
3330, 31, 32syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
341a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
35 sqwvfoura.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (2 · π)
36 2rp 12050 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
37 pirp 24433 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ+
38 rpmulcl 12068 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
3936, 37, 38mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ∈ ℝ+
4035, 39eqeltri 2835 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ+
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
4230, 41modcld 12888 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
43 picn 24431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℂ
44432timesi 11359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) = (π + π)
4535, 44eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (π + π)
4645oveq2i 6825 . . . . . . . . . . . . . 14 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
472recni 10264 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℂ
4847, 43, 43addassi 10260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
4943negidi 10562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π + -π) = 0
5043, 47, 49addcomli 10440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-π + π) = 0
5150oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π + π) + π) = (0 + π)
5243addid2i 10436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + π) = π
5351, 52eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π + π) + π) = π
5446, 48, 533eqtr2ri 2789 . . . . . . . . . . . . 13 π = (-π + 𝑇)
552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
56 2re 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
5756, 1remulcli 10266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℝ
5835, 57eqeltri 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
602rexri 10309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℝ*
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ*)
62 0red 10253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
6362rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ*)
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
65 ioogtlb 40238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → -π < 𝑥)
6661, 63, 64, 65syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
6755, 30, 59, 66ltadd1dd 10850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
6854, 67syl5eqbr 4839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
6958recni 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ ℂ
7069mulid2i 10255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝑇) = 𝑇
7170eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (1 · 𝑇)
7271oveq2i 6825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
7372oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
7430, 59readdcld 10281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
7662, 34, 74, 75, 68lttrd 10410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
7762, 74, 76ltled 10397 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
78 iooltub 40256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
7961, 63, 64, 78syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
8030, 62, 59, 79ltadd1dd 10850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < (0 + 𝑇))
8169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
8281addid2d 10449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 + 𝑇) = 𝑇)
8380, 82breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
84 modid 12909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
8574, 41, 77, 83, 84syl22anc 1478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
86 1zzd 11620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 1 ∈ ℤ)
87 modcyc 12919 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8830, 41, 86, 87syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
8973, 85, 883eqtr3a 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
9068, 89breqtrd 4830 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 mod 𝑇))
9134, 42, 90ltnsymd 10398 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
9291iffalsed 4241 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
9333, 92eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝐹𝑥) = -1)
9493oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
9594adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
9695mpteq2dva 4896 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
97 1cnd 10268 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9897negcld 10591 . . . . . 6 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
9924adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
10030adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10199, 100remulcld 10282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
102101recoscld 15093 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
103 ioossicc 12472 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
104103a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
105 ioombl 23553 . . . . . . . 8 (-π(,)0) ∈ dom vol
106105a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)0) ∈ dom vol)
10724adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
108 iccssre 12468 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-π[,]0) ⊆ ℝ)
1092, 5, 108mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]0) ⊆ ℝ
110109sseli 3740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-π[,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
111110adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
112107, 111remulcld 10282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
113112recoscld 15093 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
114 0red 10253 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
115 coscn 24418 . . . . . . . . . 10 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
116115a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
117 ax-resscn 10205 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
118109, 117sstri 3753 . . . . . . . . . . . 12 (-π[,]0) ⊆ ℂ
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]0) ⊆ ℂ)
12024recnd 10280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
121 ssid 3765 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
122121a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
123119, 120, 122constcncfg 40605 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑁) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
124119, 122idcncfg 40606 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ 𝑥) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
125123, 124mulcncf 23435 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
126116, 125cncfmpt1f 22937 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ))
127 cniccibl 23826 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((-π[,]0)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
1283, 114, 126, 127syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
129104, 106, 113, 128iblss 23790 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
13098, 102, 129iblmulc2 23816 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ (-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
13196, 130eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
132 elioore 12418 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
133132, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
134132, 133, 32syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
13540a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
136 0red 10253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
137136rexrd 10301 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ*)
1381rexri 10309 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ*
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
140 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
141 ioogtlb 40238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
142137, 139, 140, 141syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
143136, 132, 142ltled 10397 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
1441a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
14558a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
146 iooltub 40256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 < π)
147137, 139, 140, 146syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
148 2timesgt 40017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
14937, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 π < (2 · π)
150149, 35breqtrri 4831 . . . . . . . . . . . . . 14 π < 𝑇
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
152132, 144, 145, 147, 151lttrd 10410 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
153 modid 12909 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
154132, 135, 143, 152, 153syl22anc 1478 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
155154, 147eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
156155iftrued 4238 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
157134, 156eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝐹𝑥) = 1)
158157oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
159158adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
160159mpteq2dva 4896 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))))
16124adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
162132adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
163161, 162remulcld 10282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
164163recoscld 15093 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
165 ioossicc 12472 . . . . . . . 8 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
166165a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
167 ioombl 23553 . . . . . . . 8 (0(,)π) ∈ dom vol
168167a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
16924adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
170 iccssre 12468 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1715, 1, 170mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (0[,]π) ⊆ ℝ
172171sseli 3740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
173172adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
174169, 173remulcld 10282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 · 𝑥) ∈ ℝ)
175174recoscld 15093 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) ∈ ℝ)
176171, 117sstri 3753 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℂ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
178177, 120, 122constcncfg 40605 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑁) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
179177, 122idcncfg 40606 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ 𝑥) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
180178, 179mulcncf 23435 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
181116, 180cncfmpt1f 22937 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
182 cniccibl 23826 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
183114, 4, 181, 182syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
184166, 168, 175, 183iblss 23790 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (cos‘(𝑁 · 𝑥))) ∈ 𝐿1)
18597, 164, 184iblmulc2 23816 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
186160, 185eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
1873, 4, 12, 29, 131, 186itgsplitioo 23823 . . 3 (𝜑 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥))
188187oveq1d 6829 . 2 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π))
18995itgeq2dv 23767 . . . . 5 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(-π(,)0)(-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
19098, 102, 129itgmulc2 23819 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(-π(,)0)(-1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
191 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
192 ioosscn 40237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-π(,)0) ⊆ ℂ
193192sseli 3740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℂ)
194193mul02d 10446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 · 𝑥) = 0)
195191, 194sylan9eq 2814 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
196195fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
197 cos0 15099 . . . . . . . . . . . 12 (cos‘0) = 1
198196, 197syl6eq 2810 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
199198adantll 752 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
200199itgeq2dv 23767 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(-π(,)0)1 d𝑥)
201 ioovolcl 23558 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ)
2022, 5, 201mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ
203202a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ)
204 itgconst 23804 . . . . . . . . . . 11 (((-π(,)0) ∈ dom vol ∧ (vol‘(-π(,)0)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
205106, 203, 97, 204syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
206205adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(-π(,)0))))
207 volioo 23557 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0) → (vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π))
2082, 5, 7, 207mp3an 1573 . . . . . . . . . . . . . 14 (vol‘(-π(,)0)) = (0 − -π)
209 0cn 10244 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
210209, 43subnegi 10572 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − -π) = (0 + π)
211208, 210, 523eqtri 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(-π(,)0)) = π
212211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (vol‘(-π(,)0)) = π)
213212oveq2d 6830 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = (1 · π))
21443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ ℂ)
215214mulid2d 10270 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · π) = π)
216213, 215eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = π)
217216adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(-π(,)0))) = π)
218200, 206, 2173eqtrd 2798 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = π)
219218oveq2d 6830 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · π))
22043mulm1i 10687 . . . . . . . 8 (-1 · π) = -π
221220a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · π) = -π)
222 iftrue 4236 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = -π)
223222eqcomd 2766 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
224223adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → -π = if(𝑁 = 0, -π, 0))
225219, 221, 2243eqtrd 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
22624adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
22723nn0ge0d 11566 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
228227adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 ≤ 𝑁)
229 neqne 2940 . . . . . . . . 9 𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0)
230229adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
231226, 228, 230ne0gt0d 10386 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 0 < 𝑁)
232 1cnd 10268 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
233232negcld 10591 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -1 ∈ ℂ)
234233mul01d 10447 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · 0) = 0)
235120adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
2362a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ∈ ℝ)
237 0red 10253 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
2387a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → -π ≤ 0)
239 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
240239gt0ne0d 10804 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
241235, 236, 237, 238, 240itgcoscmulx 40706 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁))
242120mul01d 10447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
243242fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = (sin‘0))
244 sin0 15098 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘0) = 0
245243, 244syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 0)) = 0)
246120, 214mulneg2d 10696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · -π) = -(𝑁 · π))
247246fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = (sin‘-(𝑁 · π)))
248120, 214mulcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 · π) ∈ ℂ)
249 sinneg 15095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 · π) ∈ ℂ → (sin‘-(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
250248, 249syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘-(𝑁 · π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
251247, 250eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · -π)) = -(sin‘(𝑁 · π)))
252245, 251oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (0 − -(sin‘(𝑁 · π))))
253 0cnd 10245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
254248sincld 15079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) ∈ ℂ)
255253, 254subnegd 10611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 − -(sin‘(𝑁 · π))) = (0 + (sin‘(𝑁 · π))))
256254addid2d 10449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 + (sin‘(𝑁 · π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
257252, 255, 2563eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
258257adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) = (sin‘(𝑁 · π)))
259258oveq1d 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · 0)) − (sin‘(𝑁 · -π))) / 𝑁) = ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁))
26023nn0zd 11692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
261 sinkpi 24491 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · π)) = 0)
263262oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
264263adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
265235, 240div0d 11012 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (0 / 𝑁) = 0)
266264, 265eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ((sin‘(𝑁 · π)) / 𝑁) = 0)
267241, 259, 2663eqtrd 2798 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = 0)
268267oveq2d 6830 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = (-1 · 0))
269240neneqd 2937 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
270269iffalsed 4241 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
271234, 268, 2703eqtr4d 2804 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
272231, 271syldan 488 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
273225, 272pm2.61dan 867 . . . . 5 (𝜑 → (-1 · ∫(-π(,)0)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, -π, 0))
274189, 190, 2733eqtr2d 2800 . . . 4 (𝜑 → ∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, -π, 0))
275159itgeq2dv 23767 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
27697, 164, 184itgmulc2 23819 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(1 · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
277164, 184itgcl 23769 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
278277mulid2d 10270 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥)
279 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 = 0)
280279oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
281132recnd 10280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
282281adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
283282mul02d 10446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (0 · 𝑥) = 0)
284280, 283eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 · 𝑥) = 0)
285284fveq2d 6357 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = (cos‘0))
286285, 197syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
287286adantll 752 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (cos‘(𝑁 · 𝑥)) = 1)
288287itgeq2dv 23767 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = ∫(0(,)π)1 d𝑥)
289 ioovolcl 23558 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ)
2905, 1, 289mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ
291 ax-1cn 10206 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
292 itgconst 23804 . . . . . . . . . 10 (((0(,)π) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
293167, 290, 291, 292mp3an 1573 . . . . . . . . 9 ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π)))
294293a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
29543mulid2i 10255 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
296 volioo 23557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π) → (vol‘(0(,)π)) = (π − 0))
2975, 1, 9, 296mp3an 1573 . . . . . . . . . . . . 13 (vol‘(0(,)π)) = (π − 0)
29843subid1i 10565 . . . . . . . . . . . . 13 (π − 0) = π
299297, 298eqtri 2782 . . . . . . . . . . . 12 (vol‘(0(,)π)) = π
300299oveq2i 6825 . . . . . . . . . . 11 (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π)
301300a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = (1 · π))
302 iftrue 4236 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = π)
303295, 301, 3023eqtr4a 2820 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
304303adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → (1 · (vol‘(0(,)π))) = if(𝑁 = 0, π, 0))
305288, 294, 3043eqtrd 2798 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
306262, 245oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = (0 − 0))
307253subidd 10592 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 − 0) = 0)
308306, 307eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) = 0)
309308oveq1d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
310309adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
311310, 265eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁) = 0)
3121a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → π ∈ ℝ)
3139a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 ≤ π)
314235, 237, 312, 313, 240itgcoscmulx 40706 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = (((sin‘(𝑁 · π)) − (sin‘(𝑁 · 0))) / 𝑁))
315269iffalsed 4241 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
316311, 314, 3153eqtr4d 2804 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
317231, 316syldan 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
318305, 317pm2.61dan 867 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
319278, 318eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ∫(0(,)π)(cos‘(𝑁 · 𝑥)) d𝑥) = if(𝑁 = 0, π, 0))
320275, 276, 3193eqtr2d 2800 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 = if(𝑁 = 0, π, 0))
321274, 320oveq12d 6832 . . 3 (𝜑 → (∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) = (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)))
322321oveq1d 6829 . 2 (𝜑 → ((∫(-π(,)0)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 + ∫(0(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥) / π) = ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π))
323222, 302oveq12d 6832 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (-π + π))
324323, 50syl6eq 2810 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
325 iffalse 4239 . . . . . . . 8 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, -π, 0) = 0)
326 iffalse 4239 . . . . . . . 8 𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, π, 0) = 0)
327325, 326oveq12d 6832 . . . . . . 7 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = (0 + 0))
328 00id 10423 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
329327, 328syl6eq 2810 . . . . . 6 𝑁 = 0 → (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0)
330324, 329pm2.61i 176 . . . . 5 (if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) = 0
331330oveq1i 6824 . . . 4 ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = (0 / π)
3325, 8gtneii 10361 . . . . 5 π ≠ 0
33343, 332div0i 10971 . . . 4 (0 / π) = 0
334331, 333eqtri 2782 . . 3 ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0
335334a1i 11 . 2 (𝜑 → ((if(𝑁 = 0, -π, 0) + if(𝑁 = 0, π, 0)) / π) = 0)
336188, 322, 3353eqtrd 2798 1 (𝜑 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478  -cneg 10479   / cdiv 10896  2c2 11282  0cn0 11504  cz 11589  +crp 12045  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391   mod cmo 12882  sincsin 15013  cosccos 15014  πcpi 15016  cnccncf 22900  volcvol 23452  𝐿1cibl 23605  citg 23606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23656  df-limc 23849  df-dv 23850
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