Theorem pwm1geoserOLD 15225

Description: Obsolete version of pwm1geoser 15224 as of 22-Aug-2023. The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwm1geoserOLD.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoserOLD.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
pwm1geoserOLD	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoserOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1m1e0 11710	. . . 4 ⊢ (1 − 1) = 0
2		pwm1geoserOLD.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		1exp 13459	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
6	5	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1↑𝑁) − 1) = (1 − 1))
7		fzfid 13342	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
8		1cnd 10636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
9		elfznn0 13001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10	9	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11	8, 10	expcld 13511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1↑𝑘) ∈ ℂ)
12	7, 11	fsumcl 15090	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘) ∈ ℂ)
13	12	mul02d 10838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)) = 0)
14	1, 6, 13	3eqtr4a 2882	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1↑𝑁) − 1) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)))
15		oveq1 7163	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁))
16	15	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((1↑𝑁) − 1))
17		oveq1 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 − 1) = (1 − 1))
18	17, 1	syl6eq 2872	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 − 1) = 0)
19		oveq1 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑘) = (1↑𝑘))
20	19	sumeq2sdv 15061	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘))
21	18, 20	oveq12d 7174	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)))
22	16, 21	eqeq12d 2837	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → (((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)) ↔ ((1↑𝑁) − 1) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘))))
23	14, 22	syl5ibr 248	. 2 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
24		pwm1geoserOLD.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		neqne 3024	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = 1 → 𝐴 ≠ 1)
27	26	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝐴 ≠ 1)
28	2	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℕ0)
29	25, 27, 28	geoser 15222	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))
30		eqcom 2828	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))
31		1cnd 10636	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 1 ∈ ℂ)
32	24, 2	expcld 13511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
33	32	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
34		nesym 3072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 1)
35	34	biimpri 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 = 1 → 1 ≠ 𝐴)
36	35	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 1 ≠ 𝐴)
37	31, 33, 31, 25, 36	div2subd 11466	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = (((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)))
38	37	eqeq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ (((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))
39		peano2cnm 10952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
40	32, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
41	40	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
42		fzfid 13342	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
43	25	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	9	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
45	43, 44	expcld 13511	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
46	42, 45	fsumcl 15090	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
47		peano2cnm 10952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
48	47	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
49		simpl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
50		1cnd 10636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 1 ∈ ℂ)
51	26	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 𝐴 ≠ 1)
52	49, 50, 51	subne0d 11006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → (𝐴 − 1) ≠ 0)
53	48, 52	jca 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0))
54	53	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)))
55	24, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)))
56	55	impcom 410	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0))
57		divmul2 11302	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴↑𝑁) − 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)) → ((((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
58	41, 46, 56, 57	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
59	38, 58	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
60	30, 59	syl5bb 285	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
61	29, 60	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))
62	61	ex 415	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 = 1 → (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
63	23, 62	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   − cmin 10870   / cdiv 11297  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ...cfz 12893  ↑cexp 13430  Σcsu 15042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043

This theorem is referenced by: (None)