Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhf 30339
Description: ℚHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1 / = (/r𝑅)
qqhval2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqhf ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)

Proof of Theorem qqhf
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhval2.0 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 qqhval2.1 . . 3 / = (/r𝑅)
3 qqhval2.2 . . 3 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
41, 2, 3qqhval2 30335 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
5 drngring 18956 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
65adantr 472 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ Ring)
76adantr 472 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ Ring)
83zrhrhm 20062 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
9 zringbas 20026 . . . . . 6 ℤ = (Base‘ℤring)
109, 1rhmf 18928 . . . . 5 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
117, 8, 103syl 18 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
12 qnumcl 15650 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
1312adantl 473 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
1411, 13ffvelrnd 6523 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵)
15 simpll 807 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
16 qdencl 15651 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
1716adantl 473 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
1817nnzd 11673 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℤ)
1911, 18ffvelrnd 6523 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵)
2017nnne0d 11257 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ≠ 0)
2120neneqd 2937 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) = 0)
22 fvex 6362 . . . . . . . . . 10 (denom‘𝑞) ∈ V
2322elsn 4336 . . . . . . . . 9 ((denom‘𝑞) ∈ {0} ↔ (denom‘𝑞) = 0)
2421, 23sylnibr 318 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ {0})
25 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) = (0g𝑅)
261, 3, 25zrhker 30330 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0}))
2726biimpa 502 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0})
285, 27sylan 489 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0})
2928adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0})
3024, 29neleqtrrd 2861 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)}))
31 ffn 6206 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿:ℤ⟶𝐵𝐿 Fn ℤ)
328, 10, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 Fn ℤ)
33 elpreima 6500 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 Fn ℤ → ((denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})))
345, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ DivRing → ((denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})))
3534biimpar 503 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})) → (denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)}))
3635expr 644 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)} → (denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)})))
3736con3dimp 456 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) ∧ ¬ (denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})
3815, 18, 30, 37syl21anc 1476 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})
39 fvex 6362 . . . . . . 7 (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ V
4039elsn 4336 . . . . . 6 ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)} ↔ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g𝑅))
4138, 40sylnib 317 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g𝑅))
4241neqned 2939 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g𝑅))
43 eqid 2760 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
441, 43, 25drngunit 18954 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g𝑅))))
4544biimpar 503 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g𝑅))) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
4615, 19, 42, 45syl12anc 1475 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
471, 43, 2dvrcl 18886 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
487, 14, 46, 47syl3anc 1477 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
494, 48fmpt3d 6549 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {csn 4321  ccnv 5265  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  cn 11212  cz 11569  cq 11981  numercnumer 15643  denomcdenom 15644  Basecbs 16059  0gc0g 16302  Ringcrg 18747  Unitcui 18839  /rcdvr 18882   RingHom crh 18914  DivRingcdr 18949  ringzring 20020  ℤRHomczrh 20050  chrcchr 20052  ℚHomcqqh 30325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-numer 15645  df-denom 15646  df-gz 15836  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-od 18148  df-cmn 18395  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-rnghom 18917  df-drng 18951  df-subrg 18980  df-cnfld 19949  df-zring 20021  df-zrh 20054  df-chr 20056  df-qqh 30326
This theorem is referenced by:  qqhghm  30341  qqhrhm  30342  qqhcn  30344  qqhucn  30345  qqhre  30373
  Copyright terms: Public domain W3C validator