Theorem qqhf 31227

Description: ℚHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhf	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)

Proof of Theorem qqhf

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qqhval2.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		qqhval2.1	. . 3 ⊢ / = (/r‘𝑅)
3		qqhval2.2	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
4	1, 2, 3	qqhval2 31223	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
5		drngring 19509	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ Ring)
8	3	zrhrhm 20659	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
9		zringbas 20623	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
10	9, 1	rhmf 19478	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
11	7, 8, 10	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
12		qnumcl 16080	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
13	12	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
14	11, 13	ffvelrnd 6852	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵)
15		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
16		qdencl 16081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
17	16	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12087	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℤ)
19	11, 18	ffvelrnd 6852	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵)
20	17	nnne0d 11688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ≠ 0)
21	20	neneqd 3021	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) = 0)
22		fvex 6683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (denom‘𝑞) ∈ V
23	22	elsn 4582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((denom‘𝑞) ∈ {0} ↔ (denom‘𝑞) = 0)
24	21, 23	sylnibr 331	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ {0})
25		eqid 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	1, 3, 25	zrhker 31218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0}))
27	26	biimpa 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
28	5, 27	sylan 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
29	28	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
30	24, 29	neleqtrrd 2935	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
31		ffn 6514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → 𝐿 Fn ℤ)
32	8, 10, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 Fn ℤ)
33		elpreima 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → ((denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})))
34	5, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})))
35	34	biimpar 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})) → (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
36	35	expr 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)} → (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
37	36	con3dimp 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) ∧ ¬ (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})
38	15, 18, 30, 37	syl21anc 835	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})
39		fvex 6683	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ V
40	39	elsn 4582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g‘𝑅))
41	38, 40	sylnib 330	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g‘𝑅))
42	41	neqned 3023	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))
43		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
44	1, 43, 25	drngunit 19507	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))))
45	44	biimpar 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
46	15, 19, 42, 45	syl12anc 834	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
47	1, 43, 2	dvrcl 19436	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
48	7, 14, 46, 47	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
49	4, 48	fmpt3d 6880	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  {csn 4567  ^◡ccnv 5554   “ cima 5558   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  ℕcn 11638  ℤcz 11982  ℚcq 12349  numercnumer 16073  denomcdenom 16074  Basecbs 16483  0_gc0g 16713  Ringcrg 19297  Unitcui 19389  /_rcdvr 19432   RingHom crh 19464  DivRingcdr 19502  ℤ_ringzring 20617  ℤRHomczrh 20647  chrcchr 20649  ℚHomcqqh 31213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-gcd 15844  df-numer 16075  df-denom 16076  df-gz 16266  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-od 18656  df-cmn 18908  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-rnghom 19467  df-drng 19504  df-subrg 19533  df-cnfld 20546  df-zring 20618  df-zrh 20651  df-chr 20653  df-qqh 31214

This theorem is referenced by:  qqhghm  31229  qqhrhm  31230  qqhcn  31232  qqhucn  31233  qqhre  31261