Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhf 30339
 Description: ℚHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1 / = (/r𝑅)
qqhval2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqhf ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)

Proof of Theorem qqhf
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhval2.0 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 qqhval2.1 . . 3 / = (/r𝑅)
3 qqhval2.2 . . 3 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
41, 2, 3qqhval2 30335 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
5 drngring 18956 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
65adantr 472 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ Ring)
76adantr 472 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ Ring)
83zrhrhm 20062 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
9 zringbas 20026 . . . . . 6 ℤ = (Base‘ℤring)
109, 1rhmf 18928 . . . . 5 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
117, 8, 103syl 18 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
12 qnumcl 15650 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
1312adantl 473 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
1411, 13ffvelrnd 6523 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵)
15 simpll 807 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
16 qdencl 15651 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
1716adantl 473 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
1817nnzd 11673 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℤ)
1911, 18ffvelrnd 6523 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵)
2017nnne0d 11257 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ≠ 0)
2120neneqd 2937 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) = 0)
22 fvex 6362 . . . . . . . . . 10 (denom‘𝑞) ∈ V
2322elsn 4336 . . . . . . . . 9 ((denom‘𝑞) ∈ {0} ↔ (denom‘𝑞) = 0)
2421, 23sylnibr 318 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ {0})
25 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) = (0g𝑅)
261, 3, 25zrhker 30330 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0}))
2726biimpa 502 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0})
285, 27sylan 489 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0})
2928adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0})
3024, 29neleqtrrd 2861 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)}))
31 ffn 6206 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿:ℤ⟶𝐵𝐿 Fn ℤ)
328, 10, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 Fn ℤ)
33 elpreima 6500 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 Fn ℤ → ((denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})))
345, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ DivRing → ((denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})))
3534biimpar 503 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})) → (denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)}))
3635expr 644 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)} → (denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)})))
3736con3dimp 456 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) ∧ ¬ (denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})
3815, 18, 30, 37syl21anc 1476 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})
39 fvex 6362 . . . . . . 7 (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ V
4039elsn 4336 . . . . . 6 ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)} ↔ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g𝑅))
4138, 40sylnib 317 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g𝑅))
4241neqned 2939 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g𝑅))
43 eqid 2760 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
441, 43, 25drngunit 18954 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g𝑅))))
4544biimpar 503 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g𝑅))) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
4615, 19, 42, 45syl12anc 1475 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
471, 43, 2dvrcl 18886 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
487, 14, 46, 47syl3anc 1477 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
494, 48fmpt3d 6549 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  {csn 4321  ◡ccnv 5265   “ cima 5269   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  ℕcn 11212  ℤcz 11569  ℚcq 11981  numercnumer 15643  denomcdenom 15644  Basecbs 16059  0gc0g 16302  Ringcrg 18747  Unitcui 18839  /rcdvr 18882   RingHom crh 18914  DivRingcdr 18949  ℤringzring 20020  ℤRHomczrh 20050  chrcchr 20052  ℚHomcqqh 30325 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-numer 15645  df-denom 15646  df-gz 15836  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-od 18148  df-cmn 18395  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-rnghom 18917  df-drng 18951  df-subrg 18980  df-cnfld 19949  df-zring 20021  df-zrh 20054  df-chr 20056  df-qqh 30326 This theorem is referenced by:  qqhghm  30341  qqhrhm  30342  qqhcn  30344  qqhucn  30345  qqhre  30373
 Copyright terms: Public domain W3C validator