Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecnonsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmspecnonsq 36938
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a nonsquare positive integer and thus a valid Pell equation discriminant. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmspecnonsq (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))

Proof of Theorem rmspecnonsq
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11641 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 zsqcl 12871 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4 1zzd 11353 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℤ)
53, 4zsubcld 11431 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
6 sq1 12895 . . . . 5 (1↑2) = 1
7 eluz2b2 11705 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
87simprbi 480 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
9 1red 10000 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
10 eluzelre 11642 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 0le1 10496 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 1)
13 eluzge2nn0 11671 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
1413nn0ge0d 11299 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐴)
159, 10, 12, 14lt2sqd 12980 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
168, 15mpbid 222 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
176, 16syl5eqbrr 4654 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (𝐴↑2))
1810resqcld 12972 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
199, 18posdifd 10559 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
2017, 19mpbid 222 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
21 elnnz 11332 . . 3 (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
225, 20, 21sylanbrc 697 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
23 rmspecsqrtnq 36936 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
2423eldifbd 3573 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
2524intnand 961 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
26 df-squarenn 36871 . . . . 5 NN = {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ}
2726eleq2i 2696 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ})
28 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → (√‘𝑎) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
2928eleq1d 2688 . . . . 5 (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → ((√‘𝑎) ∈ ℚ ↔ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
3029elrab 3351 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ} ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
3127, 30bitr2i 265 . . 3 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ) ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
3225, 31sylnib 318 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
3322, 32eldifd 3571 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  {crab 2916  cdif 3557   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211  cn 10965  2c2 11015  cz 11322  cuz 11631  cq 11732  cexp 12797  csqrt 13902  NNcsquarenn 36866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-gcd 15136  df-numer 15362  df-denom 15363  df-squarenn 36871
This theorem is referenced by:  rmspecfund  36940  rmxyelqirr  36941  rmxycomplete  36948  rmbaserp  36950  rmxyneg  36951  rmxm1  36965  rmxluc  36967  rmxdbl  36970  ltrmxnn0  36982  jm2.19lem1  37022  jm2.23  37029  rmxdiophlem  37048
  Copyright terms: Public domain W3C validator