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Theorem rmspecfund 39582
Description: The base of exponent used to define the X and Y sequences is the fundamental solution of the corresponding Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmspecfund (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))

Proof of Theorem rmspecfund
StepHypRef Expression
1 rmspecnonsq 39580 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
2 eluzelz 12247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
3 zsqcl 13491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
54zred 12081 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
6 1red 10635 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
75, 6resubcld 11061 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
8 sq1 13555 . . . . . . . . . . . . 13 (1↑2) = 1
98a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1↑2) = 1)
10 eluz2b2 12315 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
1110simprbi 499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
12 eluzelre 12248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 0le1 11156 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 1
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 1)
15 eluzge2nn0 12281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
1615nn0ge0d 11952 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐴)
176, 12, 14, 16lt2sqd 13616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
1811, 17mpbid 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
199, 18eqbrtrrd 5083 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (𝐴↑2))
206, 5posdifd 11220 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
2119, 20mpbid 234 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
227, 21elrpd 12422 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
2322rpsqrtcld 14766 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ+)
2423rpred 12425 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
2524recnd 10662 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
2625mulid1d 10651 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
2726oveq2d 7165 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
28 pell1qrss14 39541 . . . . . 6 (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
291, 28syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
30 1nn0 11907 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℕ0)
328oveq2i 7160 . . . . . . . . 9 (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · 1)
337recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
3433mulid1d 10651 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · 1) = ((𝐴↑2) − 1))
3532, 34syl5eq 2867 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = ((𝐴↑2) − 1))
3635oveq2d 7165 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)))
375recnd 10662 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
38 1cnd 10629 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
3937, 38nncand 10995 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)) = 1)
4036, 39eqtrd 2855 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1)
41 pellqrexplicit 39550 . . . . . 6 (((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
421, 15, 31, 40, 41syl31anc 1368 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
4329, 42sseldd 3961 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
4427, 43eqeltrrd 2913 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
456, 24readdcld 10663 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
4612, 24readdcld 10663 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
476, 23ltaddrpd 12458 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
486, 12, 24, 11ltadd1dd 11244 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
496, 45, 46, 47, 48lttrd 10794 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
50 pellfundlb 39557 . . 3 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ∧ 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
511, 44, 49, 50syl3anc 1366 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
5237, 38npcand 10994 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴↑2) − 1) + 1) = (𝐴↑2))
5352fveq2d 6667 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = (√‘(𝐴↑2)))
5412, 16sqrtsqd 14774 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
5553, 54eqtrd 2855 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = 𝐴)
5655oveq1d 7164 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
57 pellfundge 39555 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
581, 57syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
5956, 58eqbrtrrd 5083 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
60 pellfundre 39554 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
611, 60syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
6261, 46letri3d 10775 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ↔ ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))))
6351, 59, 62mpbir2and 711 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2113  cdif 3926  wss 3929   class class class wbr 5059  cfv 6348  (class class class)co 7149  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  cn 11631  2c2 11686  0cn0 11891  cz 11975  cuz 12237  cexp 13426  csqrt 14587  NNcsquarenn 39509  Pell1QRcpell1qr 39510  Pell14QRcpell14qr 39512  PellFundcpellfund 39513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-inf2 9097  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-omul 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-acn 9364  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-ico 12738  df-fz 12890  df-fl 13159  df-mod 13235  df-seq 13367  df-exp 13427  df-hash 13688  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-gcd 15839  df-numer 16070  df-denom 16071  df-squarenn 39514  df-pell1qr 39515  df-pell14qr 39516  df-pell1234qr 39517  df-pellfund 39518
This theorem is referenced by:  rmxyelqirr  39583  rmxycomplete  39590  rmbaserp  39592
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