Theorem rpnnen 14744

Description: The cardinality of the continuum is the same as the powerset of ω. This is a stronger statement than ruc 14760, which only asserts that ℝ is uncountable, i.e. has a cardinality larger than ω. The main proof is in two parts, rpnnen1 11655 and rpnnen2 14743, each showing an injection in one direction, and this last part uses sbth 7943 to prove that the sets are equinumerous. By constructing explicit injections, we avoid the use of AC. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen	⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem rpnnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 10876	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2		qex 11635	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
3	1, 2	rpnnen1 11655	. . 3 ⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑𝑚 ℕ)
4		qnnen 14730	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ≈ ℕ
5	1	canth2 7976	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≺ 𝒫 ℕ
6		ensdomtr 7959	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ 𝒫 ℕ) → ℚ ≺ 𝒫 ℕ)
7	4, 5, 6	mp2an 703	. . . . . 6 ⊢ ℚ ≺ 𝒫 ℕ
8		sdomdom 7847	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≺ 𝒫 ℕ → ℚ ≼ 𝒫 ℕ)
9		mapdom1 7988	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≼ 𝒫 ℕ → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ)
11	1	pw2en 7930	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ)
12	1	enref 7852	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ℕ
13		mapen 7987	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 ℕ ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ∧ ℕ ≈ ℕ) → (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ))
14	11, 12, 13	mp2an 703	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)
15		domentr 7879	. . . . 5 ⊢ (((ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)) → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ))
16	10, 14, 15	mp2an 703	. . . 4 ⊢ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)
17		2onn 7585	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
18		mapxpen 7989	. . . . . . 7 ⊢ ((2𝑜 ∈ ω ∧ ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 (ℕ × ℕ)))
19	17, 1, 1, 18	mp3an 1415	. . . . . 6 ⊢ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 (ℕ × ℕ))
20	17	elexi 3185	. . . . . . . 8 ⊢ 2𝑜 ∈ V
21	20	enref 7852	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ≈ 2𝑜
22		xpnnen 14727	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
23		mapen 7987	. . . . . . 7 ⊢ ((2𝑜 ≈ 2𝑜 ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (2𝑜 ↑𝑚 (ℕ × ℕ)) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ))
24	21, 22, 23	mp2an 703	. . . . . 6 ⊢ (2𝑜 ↑𝑚 (ℕ × ℕ)) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ)
25	19, 24	entri 7874	. . . . 5 ⊢ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ)
26	25, 11	entr4i 7877	. . . 4 ⊢ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ 𝒫 ℕ
27		domentr 7879	. . . 4 ⊢ (((ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ∧ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ 𝒫 ℕ) → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ)
28	16, 26, 27	mp2an 703	. . 3 ⊢ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ
29		domtr 7873	. . 3 ⊢ ((ℝ ≼ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ∧ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ) → ℝ ≼ 𝒫 ℕ)
30	3, 28, 29	mp2an 703	. 2 ⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℕ
31		rpnnen2 14743	. . 3 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
32		reex 9884	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
33		unitssre 12149	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
34		ssdomg 7865	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → ((0[,]1) ⊆ ℝ → (0[,]1) ≼ ℝ))
35	32, 33, 34	mp2 9	. . 3 ⊢ (0[,]1) ≼ ℝ
36		domtr 7873	. . 3 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≼ ℝ) → 𝒫 ℕ ≼ ℝ)
37	31, 35, 36	mp2an 703	. 2 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ ℝ
38		sbth 7943	. 2 ⊢ ((ℝ ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ ℝ) → ℝ ≈ 𝒫 ℕ)
39	30, 37, 38	mp2an 703	1 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 1976  Vcvv 3172   ⊆ wss 3539  𝒫 cpw 4107   class class class wbr 4577   × cxp 5026  (class class class)co 6527  ωcom 6935  2_𝑜c2o 7419   ↑_𝑚 cmap 7722   ≈ cen 7816   ≼ cdom 7817   ≺ csdm 7818  ℝcr 9792  0cc0 9793  1c1 9794  ℕcn 10870  ℚcq 11623  [,]cicc 12008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214

This theorem is referenced by:  rexpen  14745  cpnnen  14746  rucALT  14747  cnso  14764  2ndcredom  21011  opnreen  22390