Theorem rpnnen 15000

Description: The cardinality of the continuum is the same as the powerset of ω. This is a stronger statement than ruc 15016, which only asserts that ℝ is uncountable, i.e. has a cardinality larger than ω. The main proof is in two parts, rpnnen1 11858 and rpnnen2 14999, each showing an injection in one direction, and this last part uses sbth 8121 to prove that the sets are equinumerous. By constructing explicit injections, we avoid the use of AC. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen	⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem rpnnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11064	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2		qex 11838	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
3	1, 2	rpnnen1 11858	. . 3 ⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑𝑚 ℕ)
4		qnnen 14986	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ≈ ℕ
5	1	canth2 8154	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≺ 𝒫 ℕ
6		ensdomtr 8137	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ 𝒫 ℕ) → ℚ ≺ 𝒫 ℕ)
7	4, 5, 6	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ ℚ ≺ 𝒫 ℕ
8		sdomdom 8025	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≺ 𝒫 ℕ → ℚ ≼ 𝒫 ℕ)
9		mapdom1 8166	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ≼ 𝒫 ℕ → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ)
11	1	pw2en 8108	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ℕ ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ)
12	1	enref 8030	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ℕ
13		mapen 8165	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 ℕ ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ∧ ℕ ≈ ℕ) → (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ))
14	11, 12, 13	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)
15		domentr 8056	. . . . 5 ⊢ (((ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)) → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ))
16	10, 14, 15	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)
17		2onn 7765	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
18		mapxpen 8167	. . . . . . 7 ⊢ ((2𝑜 ∈ ω ∧ ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 (ℕ × ℕ)))
19	17, 1, 1, 18	mp3an 1464	. . . . . 6 ⊢ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 (ℕ × ℕ))
20	17	elexi 3244	. . . . . . . 8 ⊢ 2𝑜 ∈ V
21	20	enref 8030	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ≈ 2𝑜
22		xpnnen 14983	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
23		mapen 8165	. . . . . . 7 ⊢ ((2𝑜 ≈ 2𝑜 ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (2𝑜 ↑𝑚 (ℕ × ℕ)) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ))
24	21, 22, 23	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ (2𝑜 ↑𝑚 (ℕ × ℕ)) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ)
25	19, 24	entri 8051	. . . . 5 ⊢ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2𝑜 ↑𝑚 ℕ)
26	25, 11	entr4i 8054	. . . 4 ⊢ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ 𝒫 ℕ
27		domentr 8056	. . . 4 ⊢ (((ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ∧ ((2𝑜 ↑𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ 𝒫 ℕ) → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ)
28	16, 26, 27	mp2an 708	. . 3 ⊢ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ
29		domtr 8050	. . 3 ⊢ ((ℝ ≼ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ∧ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ) → ℝ ≼ 𝒫 ℕ)
30	3, 28, 29	mp2an 708	. 2 ⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℕ
31		rpnnen2 14999	. . 3 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
32		reex 10065	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
33		unitssre 12357	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
34		ssdomg 8043	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → ((0[,]1) ⊆ ℝ → (0[,]1) ≼ ℝ))
35	32, 33, 34	mp2 9	. . 3 ⊢ (0[,]1) ≼ ℝ
36		domtr 8050	. . 3 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≼ ℝ) → 𝒫 ℕ ≼ ℝ)
37	31, 35, 36	mp2an 708	. 2 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ ℝ
38		sbth 8121	. 2 ⊢ ((ℝ ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ ℝ) → ℝ ≈ 𝒫 ℕ)
39	30, 37, 38	mp2an 708	1 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685   × cxp 5141  (class class class)co 6690  ωcom 7107  2_𝑜c2o 7599   ↑_𝑚 cmap 7899   ≈ cen 7994   ≼ cdom 7995   ≺ csdm 7996  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ℕcn 11058  ℚcq 11826  [,]cicc 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461

This theorem is referenced by:  rexpen  15001  cpnnen  15002  rucALT  15003  cnso  15020  2ndcredom  21301  opnreen  22681