Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexpen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexpen 14882
 Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that ℝ is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 8784 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexpen (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Proof of Theorem rexpen
StepHypRef Expression
1 rpnnen 14881 . . . . . 6 ℝ ≈ 𝒫 ℕ
2 nnenom 12719 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
3 pwen 8077 . . . . . . 7 (ℕ ≈ ω → 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω)
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω
51, 4entri 7954 . . . . 5 ℝ ≈ 𝒫 ω
6 omex 8484 . . . . . 6 ω ∈ V
76pw2en 8011 . . . . 5 𝒫 ω ≈ (2𝑜𝑚 ω)
85, 7entri 7954 . . . 4 ℝ ≈ (2𝑜𝑚 ω)
9 xpen 8067 . . . 4 ((ℝ ≈ (2𝑜𝑚 ω) ∧ ℝ ≈ (2𝑜𝑚 ω)) → (ℝ × ℝ) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)))
108, 8, 9mp2an 707 . . 3 (ℝ × ℝ) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))
11 2onn 7665 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
1211elexi 3199 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ V
1312, 12, 6xpmapen 8072 . . . . . 6 ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))
1413ensymi 7950 . . . . 5 ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≈ ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω)
15 ssid 3603 . . . . . . . . . . . . 13 2𝑜 ⊆ 2𝑜
16 ssnnfi 8123 . . . . . . . . . . . . 13 ((2𝑜 ∈ ω ∧ 2𝑜 ⊆ 2𝑜) → 2𝑜 ∈ Fin)
1711, 15, 16mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 2𝑜 ∈ Fin
18 xpfi 8175 . . . . . . . . . . . 12 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 2𝑜 ∈ Fin) → (2𝑜 × 2𝑜) ∈ Fin)
1917, 17, 18mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 (2𝑜 × 2𝑜) ∈ Fin
20 isfinite 8493 . . . . . . . . . . 11 ((2𝑜 × 2𝑜) ∈ Fin ↔ (2𝑜 × 2𝑜) ≺ ω)
2119, 20mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (2𝑜 × 2𝑜) ≺ ω
226canth2 8057 . . . . . . . . . 10 ω ≺ 𝒫 ω
23 sdomtr 8042 . . . . . . . . . 10 (((2𝑜 × 2𝑜) ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → (2𝑜 × 2𝑜) ≺ 𝒫 ω)
2421, 22, 23mp2an 707 . . . . . . . . 9 (2𝑜 × 2𝑜) ≺ 𝒫 ω
25 sdomdom 7927 . . . . . . . . 9 ((2𝑜 × 2𝑜) ≺ 𝒫 ω → (2𝑜 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ω)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2𝑜 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ω
27 domentr 7959 . . . . . . . 8 (((2𝑜 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2𝑜𝑚 ω)) → (2𝑜 × 2𝑜) ≼ (2𝑜𝑚 ω))
2826, 7, 27mp2an 707 . . . . . . 7 (2𝑜 × 2𝑜) ≼ (2𝑜𝑚 ω)
29 mapdom1 8069 . . . . . . 7 ((2𝑜 × 2𝑜) ≼ (2𝑜𝑚 ω) → ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6 ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω)
31 mapxpen 8070 . . . . . . . 8 ((2𝑜 ∈ ω ∧ ω ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2𝑜𝑚 (ω × ω)))
3211, 6, 6, 31mp3an 1421 . . . . . . 7 ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2𝑜𝑚 (ω × ω))
3312enref 7932 . . . . . . . 8 2𝑜 ≈ 2𝑜
34 xpomen 8782 . . . . . . . 8 (ω × ω) ≈ ω
35 mapen 8068 . . . . . . . 8 ((2𝑜 ≈ 2𝑜 ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (2𝑜𝑚 (ω × ω)) ≈ (2𝑜𝑚 ω))
3633, 34, 35mp2an 707 . . . . . . 7 (2𝑜𝑚 (ω × ω)) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
3732, 36entri 7954 . . . . . 6 ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
38 domentr 7959 . . . . . 6 ((((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ∧ ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2𝑜𝑚 ω)) → ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ (2𝑜𝑚 ω))
3930, 37, 38mp2an 707 . . . . 5 ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ (2𝑜𝑚 ω)
40 endomtr 7958 . . . . 5 ((((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≈ ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ∧ ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ (2𝑜𝑚 ω)) → ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≼ (2𝑜𝑚 ω))
4114, 39, 40mp2an 707 . . . 4 ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≼ (2𝑜𝑚 ω)
42 ovex 6632 . . . . . . 7 (2𝑜𝑚 ω) ∈ V
43 0ex 4750 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
4442, 43xpsnen 7988 . . . . . 6 ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
4544ensymi 7950 . . . . 5 (2𝑜𝑚 ω) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × {∅})
46 snfi 7982 . . . . . . . . . 10 {∅} ∈ Fin
47 isfinite 8493 . . . . . . . . . 10 ({∅} ∈ Fin ↔ {∅} ≺ ω)
4846, 47mpbi 220 . . . . . . . . 9 {∅} ≺ ω
49 sdomtr 8042 . . . . . . . . 9 (({∅} ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → {∅} ≺ 𝒫 ω)
5048, 22, 49mp2an 707 . . . . . . . 8 {∅} ≺ 𝒫 ω
51 sdomdom 7927 . . . . . . . 8 ({∅} ≺ 𝒫 ω → {∅} ≼ 𝒫 ω)
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 {∅} ≼ 𝒫 ω
53 domentr 7959 . . . . . . 7 (({∅} ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2𝑜𝑚 ω)) → {∅} ≼ (2𝑜𝑚 ω))
5452, 7, 53mp2an 707 . . . . . 6 {∅} ≼ (2𝑜𝑚 ω)
5542xpdom2 7999 . . . . . 6 ({∅} ≼ (2𝑜𝑚 ω) → ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . 5 ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))
57 endomtr 7958 . . . . 5 (((2𝑜𝑚 ω) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ∧ ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))) → (2𝑜𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)))
5845, 56, 57mp2an 707 . . . 4 (2𝑜𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))
59 sbth 8024 . . . 4 ((((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≼ (2𝑜𝑚 ω) ∧ (2𝑜𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))) → ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≈ (2𝑜𝑚 ω))
6041, 58, 59mp2an 707 . . 3 ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
6110, 60entri 7954 . 2 (ℝ × ℝ) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
6261, 8entr4i 7957 1 (ℝ × ℝ) ≈ ℝ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   class class class wbr 4613   × cxp 5072  (class class class)co 6604  ωcom 7012  2𝑜c2o 7499   ↑𝑚 cmap 7802   ≈ cen 7896   ≼ cdom 7897   ≺ csdm 7898  Fincfn 7899  ℝcr 9879  ℕcn 10964 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351 This theorem is referenced by:  cpnnen  14883
 Copyright terms: Public domain W3C validator