MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexpen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexpen 15176
Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 9050 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexpen (ℝ × ℝ) ≈ ℝ

Proof of Theorem rexpen
StepHypRef Expression
1 rpnnen 15175 . . . . . 6 ℝ ≈ 𝒫 ℕ
2 nnenom 12993 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
3 pwen 8300 . . . . . . 7 (ℕ ≈ ω → 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω)
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 𝒫 ℕ ≈ 𝒫 ω
51, 4entri 8177 . . . . 5 ℝ ≈ 𝒫 ω
6 omex 8715 . . . . . 6 ω ∈ V
76pw2en 8234 . . . . 5 𝒫 ω ≈ (2𝑜𝑚 ω)
85, 7entri 8177 . . . 4 ℝ ≈ (2𝑜𝑚 ω)
9 xpen 8290 . . . 4 ((ℝ ≈ (2𝑜𝑚 ω) ∧ ℝ ≈ (2𝑜𝑚 ω)) → (ℝ × ℝ) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)))
108, 8, 9mp2an 710 . . 3 (ℝ × ℝ) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))
11 2onn 7891 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
1211elexi 3353 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ V
1312, 12, 6xpmapen 8295 . . . . . 6 ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))
1413ensymi 8173 . . . . 5 ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≈ ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω)
15 ssid 3765 . . . . . . . . . . . . 13 2𝑜 ⊆ 2𝑜
16 ssnnfi 8346 . . . . . . . . . . . . 13 ((2𝑜 ∈ ω ∧ 2𝑜 ⊆ 2𝑜) → 2𝑜 ∈ Fin)
1711, 15, 16mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 2𝑜 ∈ Fin
18 xpfi 8398 . . . . . . . . . . . 12 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 2𝑜 ∈ Fin) → (2𝑜 × 2𝑜) ∈ Fin)
1917, 17, 18mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (2𝑜 × 2𝑜) ∈ Fin
20 isfinite 8724 . . . . . . . . . . 11 ((2𝑜 × 2𝑜) ∈ Fin ↔ (2𝑜 × 2𝑜) ≺ ω)
2119, 20mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (2𝑜 × 2𝑜) ≺ ω
226canth2 8280 . . . . . . . . . 10 ω ≺ 𝒫 ω
23 sdomtr 8265 . . . . . . . . . 10 (((2𝑜 × 2𝑜) ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → (2𝑜 × 2𝑜) ≺ 𝒫 ω)
2421, 22, 23mp2an 710 . . . . . . . . 9 (2𝑜 × 2𝑜) ≺ 𝒫 ω
25 sdomdom 8151 . . . . . . . . 9 ((2𝑜 × 2𝑜) ≺ 𝒫 ω → (2𝑜 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ω)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2𝑜 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ω
27 domentr 8182 . . . . . . . 8 (((2𝑜 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2𝑜𝑚 ω)) → (2𝑜 × 2𝑜) ≼ (2𝑜𝑚 ω))
2826, 7, 27mp2an 710 . . . . . . 7 (2𝑜 × 2𝑜) ≼ (2𝑜𝑚 ω)
29 mapdom1 8292 . . . . . . 7 ((2𝑜 × 2𝑜) ≼ (2𝑜𝑚 ω) → ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6 ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω)
31 mapxpen 8293 . . . . . . . 8 ((2𝑜 ∈ ω ∧ ω ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2𝑜𝑚 (ω × ω)))
3211, 6, 6, 31mp3an 1573 . . . . . . 7 ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2𝑜𝑚 (ω × ω))
3312enref 8156 . . . . . . . 8 2𝑜 ≈ 2𝑜
34 xpomen 9048 . . . . . . . 8 (ω × ω) ≈ ω
35 mapen 8291 . . . . . . . 8 ((2𝑜 ≈ 2𝑜 ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (2𝑜𝑚 (ω × ω)) ≈ (2𝑜𝑚 ω))
3633, 34, 35mp2an 710 . . . . . . 7 (2𝑜𝑚 (ω × ω)) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
3732, 36entri 8177 . . . . . 6 ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
38 domentr 8182 . . . . . 6 ((((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ∧ ((2𝑜𝑚 ω) ↑𝑚 ω) ≈ (2𝑜𝑚 ω)) → ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ (2𝑜𝑚 ω))
3930, 37, 38mp2an 710 . . . . 5 ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ (2𝑜𝑚 ω)
40 endomtr 8181 . . . . 5 ((((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≈ ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ∧ ((2𝑜 × 2𝑜) ↑𝑚 ω) ≼ (2𝑜𝑚 ω)) → ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≼ (2𝑜𝑚 ω))
4114, 39, 40mp2an 710 . . . 4 ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≼ (2𝑜𝑚 ω)
42 ovex 6842 . . . . . . 7 (2𝑜𝑚 ω) ∈ V
43 0ex 4942 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
4442, 43xpsnen 8211 . . . . . 6 ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
4544ensymi 8173 . . . . 5 (2𝑜𝑚 ω) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × {∅})
46 snfi 8205 . . . . . . . . . 10 {∅} ∈ Fin
47 isfinite 8724 . . . . . . . . . 10 ({∅} ∈ Fin ↔ {∅} ≺ ω)
4846, 47mpbi 220 . . . . . . . . 9 {∅} ≺ ω
49 sdomtr 8265 . . . . . . . . 9 (({∅} ≺ ω ∧ ω ≺ 𝒫 ω) → {∅} ≺ 𝒫 ω)
5048, 22, 49mp2an 710 . . . . . . . 8 {∅} ≺ 𝒫 ω
51 sdomdom 8151 . . . . . . . 8 ({∅} ≺ 𝒫 ω → {∅} ≼ 𝒫 ω)
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 {∅} ≼ 𝒫 ω
53 domentr 8182 . . . . . . 7 (({∅} ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≈ (2𝑜𝑚 ω)) → {∅} ≼ (2𝑜𝑚 ω))
5452, 7, 53mp2an 710 . . . . . 6 {∅} ≼ (2𝑜𝑚 ω)
5542xpdom2 8222 . . . . . 6 ({∅} ≼ (2𝑜𝑚 ω) → ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . 5 ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))
57 endomtr 8181 . . . . 5 (((2𝑜𝑚 ω) ≈ ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ∧ ((2𝑜𝑚 ω) × {∅}) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))) → (2𝑜𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)))
5845, 56, 57mp2an 710 . . . 4 (2𝑜𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))
59 sbth 8247 . . . 4 ((((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≼ (2𝑜𝑚 ω) ∧ (2𝑜𝑚 ω) ≼ ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω))) → ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≈ (2𝑜𝑚 ω))
6041, 58, 59mp2an 710 . . 3 ((2𝑜𝑚 ω) × (2𝑜𝑚 ω)) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
6110, 60entri 8177 . 2 (ℝ × ℝ) ≈ (2𝑜𝑚 ω)
6261, 8entr4i 8180 1 (ℝ × ℝ) ≈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   class class class wbr 4804   × cxp 5264  (class class class)co 6814  ωcom 7231  2𝑜c2o 7724  𝑚 cmap 8025  cen 8120  cdom 8121  csdm 8122  Fincfn 8123  cr 10147  cn 11232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636
This theorem is referenced by:  cpnnen  15177
  Copyright terms: Public domain W3C validator