sge0iunmptlemfi - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0iunmptlemfi 42715

Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union (in this lemma, for a finite index set). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0iunmptlemfi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
sge0iunmptlemfi.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
sge0iunmptlemfi.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
sge0iunmptlemfi.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0iunmptlemfi.re	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
sge0iunmptlemfi	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘,𝑥 𝐵,𝑘 𝑥,𝐶 𝜑,𝑘,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑘) 𝑉(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem sge0iunmptlemfi Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 4935	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	mpteq1d 5155	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶))
3	2	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)))
4		mpteq1 5154	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
5	4	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
6	3, 5	eqeq12d 2837	. 2 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
7		iuneq1 4935	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵)
8	7	mpteq1d 5155	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶))
9	8	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)))
10		mpteq1 5154	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
11	10	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
12	9, 11	eqeq12d 2837	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
13		iuneq1 4935	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
14	13	mpteq1d 5155	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶))
15	14	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)))
16		mpteq1 5154	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
17	16	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
18	15, 17	eqeq12d 2837	. 2 ⊢ (𝑦 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
19		iuneq1 4935	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
20	19	mpteq1d 5155	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))
21	20	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)))
22		mpteq1 5154	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
23	22	fveq2d 6674	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
24	21, 23	eqeq12d 2837	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
25		0iun 4986	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
26		mpteq1 5154	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅ → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶)
28		mpt0 6490	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐶) = ∅
29	27, 28	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶) = ∅
30	29	fveq2i 6673	. . . 4 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘∅)
31		mpt0 6490	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = ∅
32	31	fveq2i 6673	. . . 4 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘∅)
33	30, 32	eqtr4i 2847	. . 3 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
34	33	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ ∅ ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
35		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)))
36		nfcv 2977	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Σ^{^}
37		nfiu1 4953	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵
38		nfcv 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
39	37, 38	nfmpt 5163	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)
40	36, 39	nffv 6680	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))
41		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
42		sge0iunmptlemfi.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
43	42	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
44		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
45		ssfi 8738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
46	43, 44, 45	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
47	41, 46	syldan 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → 𝑧 ∈ Fin)
48		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))
49		eldifn 4104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
50		disjsn 4647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅ ↔ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
51	49, 50	sylibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
52	51	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
53	52	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
54	53, 50	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
55		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝜑)
56		ssel2 3962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
57	56	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
58		sge0iunmptlemfi.re	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
59	55, 57, 58	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
60	59	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℂ)
61	60	adantlrr 719	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℂ)
62		csbeq1a 3897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
63		nfcsb1v 3907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
64		vex 3497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑤 ∈ V
65	63, 64, 62	iunxsnf 41346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
66	62, 65	syl6eqr 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
67	66	mpteq1d 5155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))
68	67	fveq2d 6674	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)))
69	65	mpteq1i 5156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
71	70	fveq2d 6674	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)))
72		eldifi 4103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → 𝑤 ∈ 𝐴)
73		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)
74	63, 38	nfmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)
75	36, 74	nffv 6680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
76		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
77	75, 76	nfel 2992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ
78	73, 77	nfim 1897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
79		eleq1w 2895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ 𝐴))
80	79	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)))
81	67, 69	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
82	81	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)))
83	82	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ))
84	80, 83	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)))
85	78, 84, 58	chvarfv 2242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
86	72, 85	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
87	71, 86	eqeltrd 2913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
88	87	adantrl 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
89	88	recnd 10669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℂ)
90	35, 40, 47, 48, 54, 61, 68, 89	fsumsplitsn 15100	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
91	90	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
92	91	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
93		iunxun 5016	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
94	93	mpteq1i 5156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶)
95	94	fveq2i 6673	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶))
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶)))
97		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)))
98		sge0iunmptlemfi.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
99	98	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
100		iunexg 7664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
101	42, 99, 100	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
102	101	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
103		iunss1 4933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
104	103	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
105	102, 104	ssexd 5228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∈ V)
106	105	adantrr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∈ V)
107	101	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
108		snssi 4741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → {𝑤} ⊆ 𝐴)
109	72, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
110		iunss1 4933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤} ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
112	111	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
113	107, 112	ssexd 5228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ∈ V)
114	113	adantrl 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ∈ V)
115		sge0iunmptlemfi.dj	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
116	115	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
117	109	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
118		disjiun 5053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
119	116, 41, 117, 53, 118	syl13anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
120		eliun 4923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵)
121	120	biimpi 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵)
122	121	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵)
123		simp1l 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝜑)
124	57	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
125		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
126		sge0iunmptlemfi.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
127	123, 124, 125, 126	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
128	127	3exp 1115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑧 → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
129	128	rexlimdv 3283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
130	129	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝑧 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
131	122, 130	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
132	131	adantlrr 719	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
133		eliun 4923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵)
134	133	biimpi 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 → ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵)
135	134	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → ∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵)
136		simp1l 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝜑)
137	109	sselda 3967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
138	137	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
139	138	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
140		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
141	136, 139, 140, 126	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑤} ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
142	141	3exp 1115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (𝑥 ∈ {𝑤} → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
143	142	rexlimdv 3283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
144	143	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → (∃𝑥 ∈ {𝑤}𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
145	135, 144	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
146	145	adantlrl 718	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
147	97, 106, 114, 119, 132, 146	sge0splitmpt 42713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
148	96, 147	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
149	148	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
150		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
151	150	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
152	126	3expa 1114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
153		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
154	152, 153	fmptd 6878	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
155	98, 154	sge0ge0 42686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
156	58, 155	jca 514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
157		elrege0 12843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
158	156, 157	sylibr 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
159	55, 57, 158	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
160		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
161	159, 160	fmptd 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝑧⟶(0[,)+∞))
162	46, 161	sge0fsum 42689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦))
163	162	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦))
164		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥))
165		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
166		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝑧
167		nfmpt1 5164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
168		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
169	167, 168	nffv 6680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦)
170		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥)
171	164, 165, 166, 169, 170	cbvsum 15052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥)
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥))
173		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑥 ∈ 𝑧)
174		fvexd 6685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ V)
175	160	fvmpt2 6779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
176	173, 174, 175	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
177	176	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
178	177	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
179	178	sumeq2d 15059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
180	172, 179	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
181	180	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → Σ𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))‘𝑦) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
182	151, 163, 181	3eqtrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
183	182	adantlrr 719	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
184	183	oveq1d 7171	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
185	46, 59	fsumrecl 15091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
186	185	adantrr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
187		rexadd 12626	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
188	186, 88, 187	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
189	188	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) +_𝑒 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
190	149, 184, 189	3eqtrd 2860	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) + (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 ↦ 𝐶))))
191		snfi 8594	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤} ∈ Fin
192	191	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → {𝑤} ∈ Fin)
193		unfi 8785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ {𝑤} ∈ Fin) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
194	47, 192, 193	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
195		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝜑)
196	56	ad4ant14 750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
197		simpll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))
198		elunnel1 4126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ {𝑤})
199		elsni 4584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤} → 𝑥 = 𝑤)
200	198, 199	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑤)
201	200	adantll 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑤)
202		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑥 = 𝑤)
203	72	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑤 ∈ 𝐴)
204	202, 203	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑤) → 𝑥 ∈ 𝐴)
205	197, 201, 204	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
206	205	adantlll 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
207	196, 206	pm2.61dan 811	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
208	207	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
209	195, 208, 158	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,)+∞))
210	194, 209	sge0fsummpt 42692	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
211	210	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
212	92, 190, 211	3eqtr4d 2866	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
213	212	ex 415	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}) ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
214	6, 12, 18, 24, 34, 213, 42	findcard2d 8760	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ∀wral 3138 ∃wrex 3139 Vcvv 3494 ⦋csb 3883 ∖ cdif 3933 ∪ cun 3934 ∩ cin 3935 ⊆ wss 3936 ∅c0 4291 {csn 4567 ∪ ciun 4919 Disj wdisj 5031 class class class wbr 5066 ↦ cmpt 5146 ‘cfv 6355 (class class class)co 7156 Fincfn 8509 ℂcc 10535 ℝcr 10536 0cc0 10537 + caddc 10540 +∞cpnf 10672 ≤ cle 10676 +_𝑒 cxad 12506 [,)cico 12741 [,]cicc 12742 Σcsu 15042 Σ^{^}csumge0 42664

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-rep 5190 ax-sep 5203 ax-nul 5210 ax-pow 5266 ax-pr 5330 ax-un 7461 ax-inf2 9104 ax-cnex 10593 ax-resscn 10594 ax-1cn 10595 ax-icn 10596 ax-addcl 10597 ax-addrcl 10598 ax-mulcl 10599 ax-mulrcl 10600 ax-mulcom 10601 ax-addass 10602 ax-mulass 10603 ax-distr 10604 ax-i2m1 10605 ax-1ne0 10606 ax-1rid 10607 ax-rnegex 10608 ax-rrecex 10609 ax-cnre 10610 ax-pre-lttri 10611 ax-pre-lttrn 10612 ax-pre-ltadd 10613 ax-pre-mulgt0 10614 ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4839 df-int 4877 df-iun 4921 df-disj 5032 df-br 5067 df-opab 5129 df-mpt 5147 df-tr 5173 df-id 5460 df-eprel 5465 df-po 5474 df-so 5475 df-fr 5514 df-se 5515 df-we 5516 df-xp 5561 df-rel 5562 df-cnv 5563 df-co 5564 df-dm 5565 df-rn 5566 df-res 5567 df-ima 5568 df-pred 6148 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6314 df-fun 6357 df-fn 6358 df-f 6359 df-f1 6360 df-fo 6361 df-f1o 6362 df-fv 6363 df-isom 6364 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-om 7581 df-1st 7689 df-2nd 7690 df-wrecs 7947 df-recs 8008 df-rdg 8046 df-1o 8102 df-oadd 8106 df-er 8289 df-en 8510 df-dom 8511 df-sdom 8512 df-fin 8513 df-sup 8906 df-oi 8974 df-card 9368 df-pnf 10677 df-mnf 10678 df-xr 10679 df-ltxr 10680 df-le 10681 df-sub 10872 df-neg 10873 df-div 11298 df-nn 11639 df-2 11701 df-3 11702 df-n0 11899 df-z 11983 df-uz 12245 df-rp 12391 df-xadd 12509 df-ico 12745 df-icc 12746 df-fz 12894 df-fzo 13035 df-seq 13371 df-exp 13431 df-hash 13692 df-cj 14458 df-re 14459 df-im 14460 df-sqrt 14594 df-abs 14595 df-clim 14845 df-sum 15043 df-sumge0 42665

This theorem is referenced by: sge0iunmptlemre 42717

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