Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmullem2 40303
Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmullem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
smfmullem2.k 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴}
smfmullem2.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
smfmullem2.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
smfmullem2.l (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
smfmullem2.p (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
smfmullem2.r (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
smfmullem2.s (𝜑𝑆 ∈ ℚ)
smfmullem2.z (𝜑𝑍 ∈ ℚ)
smfmullem2.p2 (𝜑𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
smfmullem2.42 (𝜑𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
smfmullem2.w2 (𝜑𝑆 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
smfmullem2.z2 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
smfmullem2.x 𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
smfmullem2.y 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
Assertion
Ref Expression
smfmullem2 (𝜑 → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑃,𝑞,𝑢,𝑣   𝑅,𝑞,𝑢,𝑣   𝑆,𝑞,𝑢,𝑣   𝑈,𝑞   𝑉,𝑞   𝑍,𝑞,𝑢,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐴(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑉(𝑣,𝑢)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑌(𝑣,𝑢,𝑞)

Proof of Theorem smfmullem2
StepHypRef Expression
1 smfmullem2.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
2 smfmullem2.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
3 smfmullem2.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℚ)
4 smfmullem2.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ ℚ)
51, 2, 3, 4s4cld 13554 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ Word ℚ)
6 s4len 13580 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4)
85, 7jca 554 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ Word ℚ ∧ (#‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4))
9 qex 11744 . . . . . . . 8 ℚ ∈ V
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℚ ∈ V)
11 4nn0 11255 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
13 wrdmap 13275 . . . . . . 7 ((ℚ ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ Word ℚ ∧ (#‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4) ↔ ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑𝑚 (0..^4))))
1410, 12, 13syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ Word ℚ ∧ (#‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4) ↔ ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑𝑚 (0..^4))))
158, 14mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑𝑚 (0..^4)))
16 3z 11354 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
17 fzval3 12477 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℤ → (0...3) = (0..^(3 + 1)))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0...3) = (0..^(3 + 1))
19 3p1e4 11097 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
2019oveq2i 6615 . . . . . . . . 9 (0..^(3 + 1)) = (0..^4)
2118, 20eqtri 2643 . . . . . . . 8 (0...3) = (0..^4)
2221eqcomi 2630 . . . . . . 7 (0..^4) = (0...3)
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^4) = (0...3))
2423oveq2d 6620 . . . . 5 (𝜑 → (ℚ ↑𝑚 (0..^4)) = (ℚ ↑𝑚 (0...3)))
2515, 24eleqtrd 2700 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)))
26 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))) → 𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)))
27 s4fv0 13576 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℚ → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0) = 𝑃)
281, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0) = 𝑃)
29 s4fv1 13577 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℚ → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1) = 𝑅)
302, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1) = 𝑅)
3128, 30oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) = (𝑃(,)𝑅))
3231adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))) → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) = (𝑃(,)𝑅))
3326, 32eleqtrd 2700 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))) → 𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅))
34 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → 𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
35 s4fv2 13578 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ ℚ → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2) = 𝑆)
363, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2) = 𝑆)
37 s4fv3 13579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ ℚ → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3) = 𝑍)
384, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3) = 𝑍)
3936, 38oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)) = (𝑆(,)𝑍))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)) = (𝑆(,)𝑍))
4134, 40eleqtrd 2700 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
42 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
4341, 42syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
4443adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
45 smfmullem2.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4645ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47 smfmullem2.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
4847ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑈 ∈ ℝ)
49 smfmullem2.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
5049ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑉 ∈ ℝ)
51 smfmullem2.l . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
5251ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
53 smfmullem2.x . . . . . . . . 9 𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
54 smfmullem2.y . . . . . . . . 9 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
55 smfmullem2.p2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
5655ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
57 smfmullem2.42 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
5857ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
59 smfmullem2.w2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
6059ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑆 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
61 smfmullem2.z2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
6261ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
63 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅))
64 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
6546, 48, 50, 52, 53, 54, 56, 58, 60, 62, 63, 64smfmullem1 40302 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → (𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
6644, 65syldan 487 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → (𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
6766ralrimiva 2960 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) → ∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
6833, 67syldan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))) → ∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
6968ralrimiva 2960 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
7025, 69jca 554 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∧ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
71 fveq1 6147 . . . . . . 7 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑞‘0) = (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0))
72 fveq1 6147 . . . . . . 7 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑞‘1) = (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))
7371, 72oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) = ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)))
7473raleqdv 3133 . . . . 5 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
75 fveq1 6147 . . . . . . . 8 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑞‘2) = (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2))
76 fveq1 6147 . . . . . . . 8 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑞‘3) = (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))
7775, 76oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)) = ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
7877raleqdv 3133 . . . . . 6 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
7978ralbidv 2980 . . . . 5 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
8074, 79bitrd 268 . . . 4 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
81 smfmullem2.k . . . 4 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴}
8280, 81elrab2 3348 . . 3 (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ 𝐾 ↔ (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∧ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
8370, 82sylibr 224 . 2 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ 𝐾)
84 qssre 11742 . . . . . . 7 ℚ ⊆ ℝ
8584, 1sseldi 3581 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
8685rexrd 10033 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℝ*)
8784, 2sseldi 3581 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
8887rexrd 10033 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
8954a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋))
90 1rp 11780 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
9190a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
9253a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
9347, 49remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ)
94 difrp 11812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑈 · 𝑉) < 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
9593, 45, 94syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) < 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
9651, 95mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+)
97 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9847recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
9998abscld 14109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
10049recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
101100abscld 14109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
10299, 101readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
10397, 102readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ)
104 0re 9984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10691rpgt0d 11819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 1)
10798absge0d 14117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑈))
108100absge0d 14117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑉))
10999, 101addge01d 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑉) ↔ (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
110108, 109mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
111105, 99, 102, 107, 110letrd 10138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
11297, 102addge01d 10559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
113111, 112mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
114105, 97, 103, 106, 113ltletrd 10141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
115103, 114elrpd 11813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ+)
11696, 115rpdivcld 11833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) ∈ ℝ+)
11792, 116eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
11891, 117ifcld 4103 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ∈ ℝ+)
11989, 118eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
120119rpred 11816 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
12147, 120resubcld 10402 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝑌) ∈ ℝ)
122121rexrd 10033 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝑌) ∈ ℝ*)
12347rexrd 10033 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
124 iooltub 39143 . . . . . 6 (((𝑈𝑌) ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) → 𝑃 < 𝑈)
125122, 123, 55, 124syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑𝑃 < 𝑈)
12647, 120readdcld 10013 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ)
127126rexrd 10033 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*)
128 ioogtlb 39125 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → 𝑈 < 𝑅)
129123, 127, 57, 128syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑𝑈 < 𝑅)
13086, 88, 47, 125, 129eliood 39128 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (𝑃(,)𝑅))
13131eqcomd 2627 . . . 4 (𝜑 → (𝑃(,)𝑅) = ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)))
132130, 131eleqtrd 2700 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)))
13384, 3sseldi 3581 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
134133rexrd 10033 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
13584, 4sseldi 3581 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
136135rexrd 10033 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
13749, 120resubcld 10402 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉𝑌) ∈ ℝ)
138137rexrd 10033 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝑌) ∈ ℝ*)
13949rexrd 10033 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ ℝ*)
140 iooltub 39143 . . . . . 6 (((𝑉𝑌) ∈ ℝ*𝑉 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → 𝑆 < 𝑉)
141138, 139, 59, 140syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑𝑆 < 𝑉)
14249, 120readdcld 10013 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ)
143142rexrd 10033 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ*)
144 ioogtlb 39125 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ ℝ* ∧ (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ*𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑉 < 𝑍)
145139, 143, 61, 144syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑𝑉 < 𝑍)
146134, 136, 49, 141, 145eliood 39128 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ (𝑆(,)𝑍))
14739eqcomd 2627 . . . 4 (𝜑 → (𝑆(,)𝑍) = ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
148146, 147eleqtrd 2700 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
149132, 148jca 554 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))))
150 nfv 1840 . . 3 𝑞(𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
151 nfcv 2761 . . 3 𝑞⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩
152 nfrab1 3111 . . . 4 𝑞{𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴}
15381, 152nfcxfr 2759 . . 3 𝑞𝐾
15473eleq2d 2684 . . . 4 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ↔ 𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))))
15577eleq2d 2684 . . . 4 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)) ↔ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))))
156154, 155anbi12d 746 . . 3 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → ((𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) ↔ (𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))))
157150, 151, 153, 156rspcef 38723 . 2 ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ 𝐾 ∧ (𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
15883, 149, 157syl2anc 692 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  0cn0 11236  cz 11321  cq 11732  +crp 11776  (,)cioo 12117  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230  ⟨“cs4 13525  abscabs 13908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-ioo 12121  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-s2 13530  df-s3 13531  df-s4 13532  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910
This theorem is referenced by:  smfmullem3  40304
  Copyright terms: Public domain W3C validator