Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooltub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooltub 39133
Description: An element of an open interval is less than its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iooltub ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)

Proof of Theorem iooltub
StepHypRef Expression
1 elioo2 12155 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
2 simp3 1061 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
31, 2syl6bi 243 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
433impia 1258 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cr 9880  *cxr 10018   < clt 10019  (,)cioo 12114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-ioo 12118
This theorem is referenced by:  iooshift  39146  icoopn  39149  iooiinicc  39167  iooltubd  39169  iooiinioc  39181  lptre2pt  39263  limcresiooub  39265  limcresioolb  39266  sinaover2ne0  39369  dvbdfbdioolem1  39436  dvbdfbdioolem2  39437  ioodvbdlimc1lem1  39439  ioodvbdlimc2lem  39442  fourierdlem27  39645  fourierdlem28  39646  fourierdlem40  39658  fourierdlem41  39659  fourierdlem46  39663  fourierdlem48  39665  fourierdlem49  39666  fourierdlem57  39674  fourierdlem59  39676  fourierdlem60  39677  fourierdlem61  39678  fourierdlem62  39679  fourierdlem64  39681  fourierdlem68  39685  fourierdlem73  39690  fourierdlem76  39693  fourierdlem78  39695  fourierdlem84  39701  fourierdlem90  39707  fourierdlem92  39709  fourierdlem97  39714  fourierdlem103  39720  fourierdlem104  39721  fourierdlem111  39728  sqwvfoura  39739  sqwvfourb  39740  fouriersw  39742  etransclem23  39768  qndenserrnbllem  39808  ioorrnopnlem  39818  ioorrnopnxrlem  39820  hspdifhsp  40124  hoiqssbllem1  40130  hoiqssbllem2  40131  hspmbllem2  40135  iunhoiioolem  40183  pimiooltgt  40215  pimdecfgtioo  40221  pimincfltioo  40222  smfaddlem1  40265  smfmullem1  40292  smfmullem2  40293
  Copyright terms: Public domain W3C validator