MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volf 23497
Description: The domain and range of the Lebesgue measure function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
volf vol:dom vol⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem volf
StepHypRef Expression
1 ovolf 23450 . . . . . 6 vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
2 ffun 6209 . . . . . 6 (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) → Fun vol*)
3 funres 6090 . . . . . 6 (Fun vol* → Fun (vol* ↾ dom vol))
41, 2, 3mp2b 10 . . . . 5 Fun (vol* ↾ dom vol)
5 volres 23496 . . . . . 6 vol = (vol* ↾ dom vol)
65funeqi 6070 . . . . 5 (Fun vol ↔ Fun (vol* ↾ dom vol))
74, 6mpbir 221 . . . 4 Fun vol
8 resss 5580 . . . . . 6 (vol* ↾ dom vol) ⊆ vol*
95, 8eqsstri 3776 . . . . 5 vol ⊆ vol*
10 fssxp 6221 . . . . . 6 (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) → vol* ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞)))
111, 10ax-mp 5 . . . . 5 vol* ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))
129, 11sstri 3753 . . . 4 vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))
137, 12pm3.2i 470 . . 3 (Fun vol ∧ vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞)))
14 funssxp 6222 . . 3 ((Fun vol ∧ vol ⊆ (𝒫 ℝ × (0[,]+∞))) ↔ (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ))
1513, 14mpbi 220 . 2 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ)
1615simpli 476 1 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383  wss 3715  𝒫 cpw 4302   × cxp 5264  dom cdm 5266  cres 5268  Fun wfun 6043  wf 6045  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  [,]cicc 12371  vol*covol 23431  volcvol 23432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-ovol 23433  df-vol 23434
This theorem is referenced by:  volsup  23524  volsup2  23573  volivth  23575  itg1climres  23680  itg2const2  23707  itg2gt0  23726  areambl  24884  voliune  30601  volfiniune  30602  volmeas  30603  volsupnfl  33767  areacirc  33818  arearect  38303  areaquad  38304  volioof  40707  volicoff  40715  voliooicof  40716  fourierdlem87  40913  voliunsge0lem  41192  volmea  41194  hoidmv1lelem1  41311  hoidmv1lelem2  41312  hoidmv1lelem3  41313  ovolval4lem1  41369  ovolval5lem1  41372
  Copyright terms: Public domain W3C validator