Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvol2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvol2 39337
Description: The 1-dimensional Lebesgue measure agrees with the Lebesgue measure on subsets of Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvol2.f 𝑓𝑌
vonvol2.a (𝜑𝐴𝑉)
vonvol2.x (𝜑𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}))
vonvol2.y 𝑌 = 𝑓𝑋 ran 𝑓
Assertion
Ref Expression
vonvol2 (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = (vol‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem vonvol2
StepHypRef Expression
1 vonvol2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 vonvol2.f . . . . . . 7 𝑓𝑌
3 snfi 7900 . . . . . . . . 9 {𝐴} ∈ Fin
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
5 vonvol2.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ dom (voln‘{𝐴}))
64, 5vonmblss2 39315 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
7 vonvol2.y . . . . . . 7 𝑌 = 𝑓𝑋 ran 𝑓
82, 1, 6, 7ssmapsn 38186 . . . . . 6 (𝜑𝑋 = (𝑌𝑚 {𝐴}))
98eqcomd 2615 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝑚 {𝐴}) = 𝑋)
109, 5eqeltrd 2687 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}))
116adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
12 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑓𝑋)
1311, 12sseldd 3568 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
14 elmapi 7742 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
15 frn 5951 . . . . . . . . 9 (𝑓:{𝐴}⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1716ralrimiva 2948 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
18 iunss 4491 . . . . . . 7 ( 𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1917, 18sylibr 222 . . . . . 6 (𝜑 𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
207, 19syl5eqss 3611 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
211, 20vonvolmbl 39334 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝑌 ∈ dom vol))
2210, 21mpbid 220 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ dom vol)
231, 22vonvol 39335 . 2 (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘(𝑌𝑚 {𝐴})) = (vol‘𝑌))
249eqcomd 2615 . . 3 (𝜑𝑋 = (𝑌𝑚 {𝐴}))
2524fveq2d 6091 . 2 (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln‘{𝐴})‘(𝑌𝑚 {𝐴})))
26 eqidd 2610 . 2 (𝜑 → (vol‘𝑌) = (vol‘𝑌))
2723, 25, 263eqtr4d 2653 1 (𝜑 → ((voln‘{𝐴})‘𝑋) = (vol‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wnfc 2737  wral 2895  wss 3539  {csn 4124   ciun 4449  dom cdm 5027  ran crn 5028  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818  cr 9791  volcvol 22983  volncvoln 39211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-ac2 9145  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-ac 8799  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-ioo 12008  df-ico 12010  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-seq 12621  df-exp 12680  df-hash 12937  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-sum 14213  df-prod 14423  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-starv 15731  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-unif 15740  df-rest 15854  df-0g 15873  df-topgen 15875  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-subg 17362  df-cmn 17966  df-abl 17967  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-cring 18321  df-oppr 18394  df-dvdsr 18412  df-unit 18413  df-invr 18443  df-dvr 18454  df-drng 18520  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-cnfld 19516  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-cmp 20947  df-ovol 22984  df-vol 22985  df-sumge0 39039  df-ome 39163  df-caragen 39165  df-ovoln 39210  df-voln 39212
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator