Theorem 0cld 14964

Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0cld	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem 0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif0 3578	. . 3 ⊢ (∪ 𝐽 ∖ ∅) = ∪ 𝐽
2	1	topopn 14860	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽)
3		0ss 3546	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ∪ 𝐽
4		eqid 2232	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
5	4	iscld2 14956	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ ∪ 𝐽) → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
6	3, 5	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
7	2, 6	mpbird 167	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203   ∖ cdif 3207   ⊆ wss 3210  ∅c0 3507  ∪ cuni 3913  ‘cfv 5351  Topctop 14849  Clsdccld 14944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-top 14850  df-cld 14947

This theorem is referenced by:  iuncld  14967  cls0  14985