ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0cld GIF version

Theorem 0cld 13697
Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
0cld (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem 0cld
StepHypRef Expression
1 dif0 3495 . . 3 ( 𝐽 ∖ ∅) = 𝐽
21topopn 13593 . 2 (𝐽 ∈ Top → ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽)
3 0ss 3463 . . 3 ∅ ⊆ 𝐽
4 eqid 2177 . . . 4 𝐽 = 𝐽
54iscld2 13689 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
63, 5mpan2 425 . 2 (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
72, 6mpbird 167 1 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  wcel 2148  cdif 3128  wss 3131  c0 3424   cuni 3811  cfv 5218  Topctop 13582  Clsdccld 13677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-top 13583  df-cld 13680
This theorem is referenced by:  iuncld  13700  cls0  13718
  Copyright terms: Public domain W3C validator