Theorem 0elsucexmid 4579

Description: If the successor of any ordinal class contains the empty set, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0elsucexmid.1	|- A. x e. On (/) e. suc x

Assertion

Ref	Expression
0elsucexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem 0elsucexmid

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtriexmidlem 4533	. . . 4 |- { y e. { (/) } | ph } e. On
2		0elsucexmid.1	. . . 4 |- A. x e. On (/) e. suc x
3		suceq 4417	. . . . . 6 |- ( x = { y e. { (/) } | ph } -> suc x = suc { y e. { (/) } | ph } )
4	3	eleq2d 2259	. . . . 5 |- ( x = { y e. { (/) } | ph } -> ( (/) e. suc x <-> (/) e. suc { y e. { (/) } | ph } ) )
5	4	rspcv 2852	. . . 4 |- ( { y e. { (/) } | ph } e. On -> ( A. x e. On (/) e. suc x -> (/) e. suc { y e. { (/) } | ph } ) )
6	1, 2, 5	mp2 16	. . 3 |- (/) e. suc { y e. { (/) } | ph }
7		0ex 4145	. . . 4 |- (/) e. _V
8	7	elsuc 4421	. . 3 |- ( (/) e. suc { y e. { (/) } | ph } <-> ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } \/ (/) = { y e. { (/) } | ph } ) )
9	6, 8	mpbi 145	. 2 |- ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } \/ (/) = { y e. { (/) } | ph } )
10	7	snid 3638	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
11		biidd 172	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( ph <-> ph ) )
12	11	elrab3 2909	. . . . 5 |- ( (/) e. { (/) } -> ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } <-> ph ) )
13	10, 12	ax-mp 5	. . . 4 |- ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } <-> ph )
14	13	biimpi 120	. . 3 |- ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } -> ph )
15		ordtriexmidlem2 4534	. . . 4 |- ( { y e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
16	15	eqcoms 2192	. . 3 |- ( (/) = { y e. { (/) } | ph } -> -. ph )
17	14, 16	orim12i 760	. 2 |- ( ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } \/ (/) = { y e. { (/) } | ph } ) -> ( ph \/ -. ph ) )
18	9, 17	ax-mp 5	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   {crab 2472   (/)c0 3437   {csn 3607   Oncon0 4378   suc csuc 4380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-uni 3825  df-tr 4117  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386

This theorem is referenced by: (None)