Theorem 0elsucexmid 4707

Description: If the successor of any ordinal class contains the empty set, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0elsucexmid.1	|- A. x e. On (/) e. suc x

Assertion

Ref	Expression
0elsucexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem 0elsucexmid

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtriexmidlem 4661	. . . 4 |- { y e. { (/) } | ph } e. On
2		0elsucexmid.1	. . . 4 |- A. x e. On (/) e. suc x
3		suceq 4542	. . . . . 6 |- ( x = { y e. { (/) } | ph } -> suc x = suc { y e. { (/) } | ph } )
4	3	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( x = { y e. { (/) } | ph } -> ( (/) e. suc x <-> (/) e. suc { y e. { (/) } | ph } ) )
5	4	rspcv 2925	. . . 4 |- ( { y e. { (/) } | ph } e. On -> ( A. x e. On (/) e. suc x -> (/) e. suc { y e. { (/) } | ph } ) )
6	1, 2, 5	mp2 16	. . 3 |- (/) e. suc { y e. { (/) } | ph }
7		0ex 4255	. . . 4 |- (/) e. _V
8	7	elsuc 4546	. . 3 |- ( (/) e. suc { y e. { (/) } | ph } <-> ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } \/ (/) = { y e. { (/) } | ph } ) )
9	6, 8	mpbi 145	. 2 |- ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } \/ (/) = { y e. { (/) } | ph } )
10	7	snid 3736	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
11		biidd 172	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( ph <-> ph ) )
12	11	elrab3 2983	. . . . 5 |- ( (/) e. { (/) } -> ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } <-> ph ) )
13	10, 12	ax-mp 5	. . . 4 |- ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } <-> ph )
14	13	biimpi 120	. . 3 |- ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } -> ph )
15		ordtriexmidlem2 4662	. . . 4 |- ( { y e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
16	15	eqcoms 2241	. . 3 |- ( (/) = { y e. { (/) } | ph } -> -. ph )
17	14, 16	orim12i 771	. 2 |- ( ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } \/ (/) = { y e. { (/) } | ph } ) -> ( ph \/ -. ph ) )
18	9, 17	ax-mp 5	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   (/)c0 3520   {csn 3705   Oncon0 4503   suc csuc 4505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-uni 3931  df-tr 4225  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511

This theorem is referenced by: (None)