ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0er Unicode version

Theorem 0er 6594
Description: The empty set is an equivalence relation on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
0er  |-  (/)  Er  (/)

Proof of Theorem 0er
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rel0 4769 . . . 4  |-  Rel  (/)
21a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  Rel  (/) )
3 df-br 4019 . . . . 5  |-  ( x
(/) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
4 noel 3441 . . . . . 6  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
54pm2.21i 647 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  ->  y (/) x )
63, 5sylbi 121 . . . 4  |-  ( x
(/) y  ->  y (/) x )
76adantl 277 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x (/) y )  ->  y (/) x )
84pm2.21i 647 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  ->  x (/) z )
93, 8sylbi 121 . . . 4  |-  ( x
(/) y  ->  x (/) z )
109ad2antrl 490 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x
(/) y  /\  y (/) z ) )  ->  x (/) z )
11 noel 3441 . . . . . 6  |-  -.  x  e.  (/)
12 noel 3441 . . . . . 6  |-  -.  <. x ,  x >.  e.  (/)
1311, 122false 702 . . . . 5  |-  ( x  e.  (/)  <->  <. x ,  x >.  e.  (/) )
14 df-br 4019 . . . . 5  |-  ( x
(/) x  <->  <. x ,  x >.  e.  (/) )
1513, 14bitr4i 187 . . . 4  |-  ( x  e.  (/)  <->  x (/) x )
1615a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  (/)  <->  x (/) x ) )
172, 7, 10, 16iserd 6586 . 2  |-  ( T. 
->  (/)  Er  (/) )
1817mptru 1373 1  |-  (/)  Er  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 105   T. wtru 1365    e. wcel 2160   (/)c0 3437   <.cop 3610   class class class wbr 4018   Rel wrel 4649    Er wer 6557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-er 6560
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator