Theorem 0er 6677

Description: The empty set is an equivalence relation on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0er	|- (/) Er (/)

Proof of Theorem 0er

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4818	. . . 4 |- Rel (/)
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel (/) )
3		df-br 4060	. . . . 5 |- ( x (/) y <-> <. x , y >. e. (/) )
4		noel 3472	. . . . . 6 |- -. <. x , y >. e. (/)
5	4	pm2.21i 647	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> y (/) x )
6	3, 5	sylbi 121	. . . 4 |- ( x (/) y -> y (/) x )
7	6	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x (/) y ) -> y (/) x )
8	4	pm2.21i 647	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> x (/) z )
9	3, 8	sylbi 121	. . . 4 |- ( x (/) y -> x (/) z )
10	9	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x (/) y /\ y (/) z ) ) -> x (/) z )
11		noel 3472	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
12		noel 3472	. . . . . 6 |- -. <. x , x >. e. (/)
13	11, 12	2false 703	. . . . 5 |- ( x e. (/) <-> <. x , x >. e. (/) )
14		df-br 4060	. . . . 5 |- ( x (/) x <-> <. x , x >. e. (/) )
15	13, 14	bitr4i 187	. . . 4 |- ( x e. (/) <-> x (/) x )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. (/) <-> x (/) x ) )
17	2, 7, 10, 16	iserd 6669	. 2 |- ( T. -> (/) Er (/) )
18	17	mptru 1382	1 |- (/) Er (/)

Syntax hints:   <-> wb 105   T. wtru 1374   e. wcel 2178   (/)c0 3468   <.cop 3646   class class class wbr 4059   Rel wrel 4698   Er wer 6640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-er 6643

This theorem is referenced by: (None)