Theorem 0er 6366

Description: The empty set is an equivalence relation on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0er	|- (/) Er (/)

Proof of Theorem 0er

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4592	. . . 4 |- Rel (/)
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel (/) )
3		df-br 3868	. . . . 5 |- ( x (/) y <-> <. x , y >. e. (/) )
4		noel 3306	. . . . . 6 |- -. <. x , y >. e. (/)
5	4	pm2.21i 613	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> y (/) x )
6	3, 5	sylbi 120	. . . 4 |- ( x (/) y -> y (/) x )
7	6	adantl 272	. . 3 |- ( ( T. /\ x (/) y ) -> y (/) x )
8	4	pm2.21i 613	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> x (/) z )
9	3, 8	sylbi 120	. . . 4 |- ( x (/) y -> x (/) z )
10	9	ad2antrl 475	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x (/) y /\ y (/) z ) ) -> x (/) z )
11		noel 3306	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
12		noel 3306	. . . . . 6 |- -. <. x , x >. e. (/)
13	11, 12	2false 655	. . . . 5 |- ( x e. (/) <-> <. x , x >. e. (/) )
14		df-br 3868	. . . . 5 |- ( x (/) x <-> <. x , x >. e. (/) )
15	13, 14	bitr4i 186	. . . 4 |- ( x e. (/) <-> x (/) x )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. (/) <-> x (/) x ) )
17	2, 7, 10, 16	iserd 6358	. 2 |- ( T. -> (/) Er (/) )
18	17	mptru 1305	1 |- (/) Er (/)

Syntax hints:   <-> wb 104   T. wtru 1297   e. wcel 1445   (/)c0 3302   <.cop 3469   class class class wbr 3867   Rel wrel 4472   Er wer 6329

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-er 6332

This theorem is referenced by: (None)