Theorem 0er 6463

Description: The empty set is an equivalence relation on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0er	|- (/) Er (/)

Proof of Theorem 0er

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4664	. . . 4 |- Rel (/)
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel (/) )
3		df-br 3930	. . . . 5 |- ( x (/) y <-> <. x , y >. e. (/) )
4		noel 3367	. . . . . 6 |- -. <. x , y >. e. (/)
5	4	pm2.21i 635	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> y (/) x )
6	3, 5	sylbi 120	. . . 4 |- ( x (/) y -> y (/) x )
7	6	adantl 275	. . 3 |- ( ( T. /\ x (/) y ) -> y (/) x )
8	4	pm2.21i 635	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> x (/) z )
9	3, 8	sylbi 120	. . . 4 |- ( x (/) y -> x (/) z )
10	9	ad2antrl 481	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x (/) y /\ y (/) z ) ) -> x (/) z )
11		noel 3367	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
12		noel 3367	. . . . . 6 |- -. <. x , x >. e. (/)
13	11, 12	2false 690	. . . . 5 |- ( x e. (/) <-> <. x , x >. e. (/) )
14		df-br 3930	. . . . 5 |- ( x (/) x <-> <. x , x >. e. (/) )
15	13, 14	bitr4i 186	. . . 4 |- ( x e. (/) <-> x (/) x )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. (/) <-> x (/) x ) )
17	2, 7, 10, 16	iserd 6455	. 2 |- ( T. -> (/) Er (/) )
18	17	mptru 1340	1 |- (/) Er (/)

Syntax hints:   <-> wb 104   T. wtru 1332   e. wcel 1480   (/)c0 3363   <.cop 3530   class class class wbr 3929   Rel wrel 4544   Er wer 6426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-er 6429

This theorem is referenced by: (None)