Theorem 0er 6571

Description: The empty set is an equivalence relation on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0er	|- (/) Er (/)

Proof of Theorem 0er

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4753	. . . 4 |- Rel (/)
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel (/) )
3		df-br 4006	. . . . 5 |- ( x (/) y <-> <. x , y >. e. (/) )
4		noel 3428	. . . . . 6 |- -. <. x , y >. e. (/)
5	4	pm2.21i 646	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> y (/) x )
6	3, 5	sylbi 121	. . . 4 |- ( x (/) y -> y (/) x )
7	6	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x (/) y ) -> y (/) x )
8	4	pm2.21i 646	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> x (/) z )
9	3, 8	sylbi 121	. . . 4 |- ( x (/) y -> x (/) z )
10	9	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x (/) y /\ y (/) z ) ) -> x (/) z )
11		noel 3428	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
12		noel 3428	. . . . . 6 |- -. <. x , x >. e. (/)
13	11, 12	2false 701	. . . . 5 |- ( x e. (/) <-> <. x , x >. e. (/) )
14		df-br 4006	. . . . 5 |- ( x (/) x <-> <. x , x >. e. (/) )
15	13, 14	bitr4i 187	. . . 4 |- ( x e. (/) <-> x (/) x )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. (/) <-> x (/) x ) )
17	2, 7, 10, 16	iserd 6563	. 2 |- ( T. -> (/) Er (/) )
18	17	mptru 1362	1 |- (/) Er (/)

Syntax hints:   <-> wb 105   T. wtru 1354   e. wcel 2148   (/)c0 3424   <.cop 3597   class class class wbr 4005   Rel wrel 4633   Er wer 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-er 6537

This theorem is referenced by: (None)