Theorem 0er 6547

Description: The empty set is an equivalence relation on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0er	|- (/) Er (/)

Proof of Theorem 0er

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4736	. . . 4 |- Rel (/)
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel (/) )
3		df-br 3990	. . . . 5 |- ( x (/) y <-> <. x , y >. e. (/) )
4		noel 3418	. . . . . 6 |- -. <. x , y >. e. (/)
5	4	pm2.21i 641	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> y (/) x )
6	3, 5	sylbi 120	. . . 4 |- ( x (/) y -> y (/) x )
7	6	adantl 275	. . 3 |- ( ( T. /\ x (/) y ) -> y (/) x )
8	4	pm2.21i 641	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> x (/) z )
9	3, 8	sylbi 120	. . . 4 |- ( x (/) y -> x (/) z )
10	9	ad2antrl 487	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x (/) y /\ y (/) z ) ) -> x (/) z )
11		noel 3418	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
12		noel 3418	. . . . . 6 |- -. <. x , x >. e. (/)
13	11, 12	2false 696	. . . . 5 |- ( x e. (/) <-> <. x , x >. e. (/) )
14		df-br 3990	. . . . 5 |- ( x (/) x <-> <. x , x >. e. (/) )
15	13, 14	bitr4i 186	. . . 4 |- ( x e. (/) <-> x (/) x )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. (/) <-> x (/) x ) )
17	2, 7, 10, 16	iserd 6539	. 2 |- ( T. -> (/) Er (/) )
18	17	mptru 1357	1 |- (/) Er (/)

Syntax hints:   <-> wb 104   T. wtru 1349   e. wcel 2141   (/)c0 3414   <.cop 3586   class class class wbr 3989   Rel wrel 4616   Er wer 6510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-er 6513

This theorem is referenced by: (None)