ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0er Unicode version

Theorem 0er 6431
Description: The empty set is an equivalence relation on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
0er  |-  (/)  Er  (/)

Proof of Theorem 0er
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rel0 4634 . . . 4  |-  Rel  (/)
21a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  Rel  (/) )
3 df-br 3900 . . . . 5  |-  ( x
(/) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
4 noel 3337 . . . . . 6  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
54pm2.21i 620 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  ->  y (/) x )
63, 5sylbi 120 . . . 4  |-  ( x
(/) y  ->  y (/) x )
76adantl 275 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x (/) y )  ->  y (/) x )
84pm2.21i 620 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  ->  x (/) z )
93, 8sylbi 120 . . . 4  |-  ( x
(/) y  ->  x (/) z )
109ad2antrl 481 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x
(/) y  /\  y (/) z ) )  ->  x (/) z )
11 noel 3337 . . . . . 6  |-  -.  x  e.  (/)
12 noel 3337 . . . . . 6  |-  -.  <. x ,  x >.  e.  (/)
1311, 122false 675 . . . . 5  |-  ( x  e.  (/)  <->  <. x ,  x >.  e.  (/) )
14 df-br 3900 . . . . 5  |-  ( x
(/) x  <->  <. x ,  x >.  e.  (/) )
1513, 14bitr4i 186 . . . 4  |-  ( x  e.  (/)  <->  x (/) x )
1615a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  (/)  <->  x (/) x ) )
172, 7, 10, 16iserd 6423 . 2  |-  ( T. 
->  (/)  Er  (/) )
1817mptru 1325 1  |-  (/)  Er  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104   T. wtru 1317    e. wcel 1465   (/)c0 3333   <.cop 3500   class class class wbr 3899   Rel wrel 4514    Er wer 6394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-er 6397
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator