Theorem 0er 6594

Description: The empty set is an equivalence relation on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0er	|- (/) Er (/)

Proof of Theorem 0er

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4769	. . . 4 |- Rel (/)
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel (/) )
3		df-br 4019	. . . . 5 |- ( x (/) y <-> <. x , y >. e. (/) )
4		noel 3441	. . . . . 6 |- -. <. x , y >. e. (/)
5	4	pm2.21i 647	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> y (/) x )
6	3, 5	sylbi 121	. . . 4 |- ( x (/) y -> y (/) x )
7	6	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x (/) y ) -> y (/) x )
8	4	pm2.21i 647	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> x (/) z )
9	3, 8	sylbi 121	. . . 4 |- ( x (/) y -> x (/) z )
10	9	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x (/) y /\ y (/) z ) ) -> x (/) z )
11		noel 3441	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
12		noel 3441	. . . . . 6 |- -. <. x , x >. e. (/)
13	11, 12	2false 702	. . . . 5 |- ( x e. (/) <-> <. x , x >. e. (/) )
14		df-br 4019	. . . . 5 |- ( x (/) x <-> <. x , x >. e. (/) )
15	13, 14	bitr4i 187	. . . 4 |- ( x e. (/) <-> x (/) x )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. (/) <-> x (/) x ) )
17	2, 7, 10, 16	iserd 6586	. 2 |- ( T. -> (/) Er (/) )
18	17	mptru 1373	1 |- (/) Er (/)

Syntax hints:   <-> wb 105   T. wtru 1365   e. wcel 2160   (/)c0 3437   <.cop 3610   class class class wbr 4018   Rel wrel 4649   Er wer 6557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-er 6560

This theorem is referenced by: (None)