Theorem 0er 6471

Description: The empty set is an equivalence relation on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0er	|- (/) Er (/)

Proof of Theorem 0er

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4672	. . . 4 |- Rel (/)
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel (/) )
3		df-br 3938	. . . . 5 |- ( x (/) y <-> <. x , y >. e. (/) )
4		noel 3372	. . . . . 6 |- -. <. x , y >. e. (/)
5	4	pm2.21i 636	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> y (/) x )
6	3, 5	sylbi 120	. . . 4 |- ( x (/) y -> y (/) x )
7	6	adantl 275	. . 3 |- ( ( T. /\ x (/) y ) -> y (/) x )
8	4	pm2.21i 636	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> x (/) z )
9	3, 8	sylbi 120	. . . 4 |- ( x (/) y -> x (/) z )
10	9	ad2antrl 482	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x (/) y /\ y (/) z ) ) -> x (/) z )
11		noel 3372	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
12		noel 3372	. . . . . 6 |- -. <. x , x >. e. (/)
13	11, 12	2false 691	. . . . 5 |- ( x e. (/) <-> <. x , x >. e. (/) )
14		df-br 3938	. . . . 5 |- ( x (/) x <-> <. x , x >. e. (/) )
15	13, 14	bitr4i 186	. . . 4 |- ( x e. (/) <-> x (/) x )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. (/) <-> x (/) x ) )
17	2, 7, 10, 16	iserd 6463	. 2 |- ( T. -> (/) Er (/) )
18	17	mptru 1341	1 |- (/) Er (/)

Syntax hints:   <-> wb 104   T. wtru 1333   e. wcel 1481   (/)c0 3368   <.cop 3535   class class class wbr 3937   Rel wrel 4552   Er wer 6434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-er 6437

This theorem is referenced by: (None)