Theorem 0er 6535

Description: The empty set is an equivalence relation on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0er	|- (/) Er (/)

Proof of Theorem 0er

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4729	. . . 4 |- Rel (/)
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel (/) )
3		df-br 3983	. . . . 5 |- ( x (/) y <-> <. x , y >. e. (/) )
4		noel 3413	. . . . . 6 |- -. <. x , y >. e. (/)
5	4	pm2.21i 636	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> y (/) x )
6	3, 5	sylbi 120	. . . 4 |- ( x (/) y -> y (/) x )
7	6	adantl 275	. . 3 |- ( ( T. /\ x (/) y ) -> y (/) x )
8	4	pm2.21i 636	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> x (/) z )
9	3, 8	sylbi 120	. . . 4 |- ( x (/) y -> x (/) z )
10	9	ad2antrl 482	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x (/) y /\ y (/) z ) ) -> x (/) z )
11		noel 3413	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
12		noel 3413	. . . . . 6 |- -. <. x , x >. e. (/)
13	11, 12	2false 691	. . . . 5 |- ( x e. (/) <-> <. x , x >. e. (/) )
14		df-br 3983	. . . . 5 |- ( x (/) x <-> <. x , x >. e. (/) )
15	13, 14	bitr4i 186	. . . 4 |- ( x e. (/) <-> x (/) x )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. (/) <-> x (/) x ) )
17	2, 7, 10, 16	iserd 6527	. 2 |- ( T. -> (/) Er (/) )
18	17	mptru 1352	1 |- (/) Er (/)

Syntax hints:   <-> wb 104   T. wtru 1344   e. wcel 2136   (/)c0 3409   <.cop 3579   class class class wbr 3982   Rel wrel 4609   Er wer 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-er 6501

This theorem is referenced by: (None)