ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0er GIF version

Theorem 0er 6471
Description: The empty set is an equivalence relation on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
0er ∅ Er ∅

Proof of Theorem 0er
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rel0 4672 . . . 4 Rel ∅
21a1i 9 . . 3 (⊤ → Rel ∅)
3 df-br 3938 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅)
4 noel 3372 . . . . . 6 ¬ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅
54pm2.21i 636 . . . . 5 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅ → 𝑦𝑥)
63, 5sylbi 120 . . . 4 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
76adantl 275 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝑥)
84pm2.21i 636 . . . . 5 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅ → 𝑥𝑧)
93, 8sylbi 120 . . . 4 (𝑥𝑦𝑥𝑧)
109ad2antrl 482 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑧)) → 𝑥𝑧)
11 noel 3372 . . . . . 6 ¬ 𝑥 ∈ ∅
12 noel 3372 . . . . . 6 ¬ ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ∅
1311, 122false 691 . . . . 5 (𝑥 ∈ ∅ ↔ ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ∅)
14 df-br 3938 . . . . 5 (𝑥𝑥 ↔ ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ∅)
1513, 14bitr4i 186 . . . 4 (𝑥 ∈ ∅ ↔ 𝑥𝑥)
1615a1i 9 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ∅ ↔ 𝑥𝑥))
172, 7, 10, 16iserd 6463 . 2 (⊤ → ∅ Er ∅)
1817mptru 1341 1 ∅ Er ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104  wtru 1333  wcel 1481  c0 3368  cop 3535   class class class wbr 3937  Rel wrel 4552   Er wer 6434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-er 6437
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator