Theorem eceq1 6846

Description: Equality theorem for equivalence class. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
eceq1	|- ( A = B -> [ A ] C = [ B ] C )

Proof of Theorem eceq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3720	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	imaeq2d 5129	. 2 |- ( A = B -> ( C " { A } ) = ( C " { B } ) )
3		df-ec 6813	. 2 |- [ A ] C = ( C " { A } )
4		df-ec 6813	. 2 |- [ B ] C = ( C " { B } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2296	1 |- ( A = B -> [ A ] C = [ B ] C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   {csn 3709   "cima 4779   [cec 6809

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-ec 6813

This theorem is used by:  eceq1d  6847  ecelqsg  6866  snec  6874  qliftfun  6895  qliftfuns  6897  qliftval  6899  ecoptocl  6900  eroveu  6904  th3qlem1  6915  th3qlem2  6916  th3q  6918  dmaddpqlem  7750  nqpi  7751  1qec  7761  nqnq0  7814  nq0nn  7815  mulnnnq0  7823  addpinq1  7837  caucvgsrlemfv  8164  caucvgsr  8175  pitonnlem1  8218  axcaucvg  8273  divsfval  13708  divsfvalg  13709  qusghm  14144  znzrhval  15091