Theorem eceq1 6736

Description: Equality theorem for equivalence class. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
eceq1	|- ( A = B -> [ A ] C = [ B ] C )

Proof of Theorem eceq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3680	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	imaeq2d 5076	. 2 |- ( A = B -> ( C " { A } ) = ( C " { B } ) )
3		df-ec 6703	. 2 |- [ A ] C = ( C " { A } )
4		df-ec 6703	. 2 |- [ B ] C = ( C " { B } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2289	1 |- ( A = B -> [ A ] C = [ B ] C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   {csn 3669   "cima 4728   [cec 6699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-ec 6703

This theorem is referenced by:  eceq1d  6737  ecelqsg  6756  snec  6764  qliftfun  6785  qliftfuns  6787  qliftval  6789  ecoptocl  6790  eroveu  6794  th3qlem1  6805  th3qlem2  6806  th3q  6808  dmaddpqlem  7596  nqpi  7597  1qec  7607  nqnq0  7660  nq0nn  7661  mulnnnq0  7669  addpinq1  7683  caucvgsrlemfv  8010  caucvgsr  8021  pitonnlem1  8064  axcaucvg  8119  divsfval  13410  divsfvalg  13411  qusghm  13868  znzrhval  14660